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Die folgenden Aufgaben erfordern mehrere Rechenschritte bis zur Lösung. Dazu zerlegt man die Aufgabe in Teilbereiche, die zuerst berechnet und danach zusammengefasst werden. Bei dieser Vorgehensweise benötigt man keine großen Formeln und gelangt zuverlässig zu dem richtigen Ergebnis.
[question:AD106]
Wenn alle Widerstände gleich groß sind und durch $R_3$ ein Strom von 1mA fließt, dann muss durch $R_2$ auch der gleiche Strom fließen, also auch 1mA. Beide Ströme müssen in der Summe durch $R_1$ fließen. Alles klar? Wie komme ich nun auf die Gesamtspannung $U$? Diese Spannung muss so groß sein, dass durch den Gesamtwiderstand auch der Gesamtstrom fließen kann. Der Gesamtstrom entspricht dem Strom durch $R_1$. Eine kleine Formel hilft nun bei der Berechnung. $U = I \cdot R = \qty{2}{\milli\ampere} \cdot \qty{15}{\kilo\ohm}$ --- [question:AD107] Dieses Mal ist die Gesamtspannung angegeben und der Strom durch $R_3$ ist gesucht. Da alle Widerstände wieder $\qty{10}{\kilo\ohm}$ betragen, ergibt sich ein Gesamtwiderstand wie in der vorherigen Aufgabe. Der Gesamtstrom lässt sich mit der bekannten Formel $I = \frac{U}{R}$ ermitteln. Durch $R_3$ fließt wieder die Hälfte des Gesamtstroms, da $R_2$ und $R_3$ gleich groß sind.[question:AD108]
Achtung: Hier werden Kiloohm mit Milliampere multipliziert. Die Lösung ist aber in Milliwatt angegeben.
Hinweis: \qty{1}{\milli\watt} = \qty{\frac{1}{1000}}{\watt} = \qty{0,001}{\watt}; \qty{1}{\watt} = \qty{1000}{\milli\watt}
Jetzt wird es etwas schwieriger, da nach der Leistung an R_2 gefragt wird.
Die Gesamtspannung und die Widerstandswerte entsprechen der vorherigen Aufgabe, deshalb fließt durch R_2 der gleiche Strom wie durch R_3 und entspricht dem halben Strom wie durch R_1.
Es ist zuerst der Gesamtstrom zu berechnen. I = \frac {U}{R_{ges}} ; danach I_2 = \frac {I}{2}
Die Leistung berechnet man mit der Formel P = U \cdot I. Hier müssen die Werte, wie sie an dem gesuchten Widerstand auftreten, eingesetzt werden.
Also P_2 = U_2 \cdot I_2
Oh, eines neues Problem. U_2 ist noch nicht bekannt, lässt sich aber berechnen. U_2 = R_2 \cdot I_2 = \qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{0,5}{\milli\ampere}
P_2 = \qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{0,5}{\milli\ampere} \cdot \qty{0,5}{\milli\ampere}; Da steckt doch die bekannte Formel P = I^2 \cdot R dahinter.
(siehe Formelsammlung Seite 235 Mitte links - Stichwort: Leistung)
In der folgenden Widerstandsschaltung ist ein veränderbarer Widerstand (Potenziometer) eingebaut.
Der Widerstandswert kann von \qty{0}{\kilo\ohm} bis auf maximal \qty{1}{\kilo\ohm} verändert werden. Egal in welcher Stellung sich der Schleifer des Potenziometers befindet, der Gesamtwiderstand muss immer kleiner als \qty{300}{\ohm} sein!
[question:AD109]
Lösung mit Rechnung:
\qty{100}{\ohm} mit \qty{200}{\ohm} parallel (Potenziometer steht auf \qty{0}{\ohm}) ergibt einen Gesamtwiderstand von (\qty{100}{\ohm} \cdot \qty{200}{\ohm}) / (\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm}) = \qty{67}{\ohm}
\qty{100}{\ohm} mit \qty{1200}{\ohm} (Potenziometer steht auf \qty{1}{\kilo\ohm}) in Parallelschaltung ergibt einen Gesamtwiderstand von \frac{\qty{100}{\ohm} \cdot \qty{200}{\ohm}}{\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm}} = \qty{92}{\ohm}. Zum Ergebnis muss noch der vorgeschaltete Widerstand mit \qty{200}{\ohm} addiert werden.
Begründung gewünscht?
Die Parallelschaltung von \qty{100}{\ohm} mit \qty{200}{\ohm} (Potenziometer steht auf \qty{0}{\ohm}) oder \qty{100}{\ohm} mit \qty{1,2}{\kilo\ohm} (Potenziometer steht auf \qty{1}{\kilo\ohm}) ergibt immer einen Wert kleiner als \qty{100}{\ohm}. Wenn noch \qty{200}{\ohm} addiert werden, wird er Gesamtwiderstand nicht größer als \qty{300}{\ohm} sein.
Es gibt nur eine Lösung, bei der dies erfüllt ist.
Ganz ohne Rechnung gelöst, UFB !
Nun untersuchen wir eine Widerstandsschaltung mit 4 Widerständen, die oft verwendet wird. Jeweils zwei Spannungsteiler in Parallelschaltung ergeben eine sogenannte Brückenschaltung. Brückenschaltungen werden z.B. in Widerstandsmessgeräten nach dem Prinzip einer Wheatstone Messbrücke angewendet.
[question:AD110]
Der Gesamtwiderstand lässt sich schrittweise ermitteln.
Zuerst wird die Reihenschaltung berechnet und ergibt einen Gesamtwiderstand von \qty{220}{\ohm} + \qty{2,2}{\kilo\ohm} = \qty{2,42}{\kilo\ohm}.
\qty{2,42}{\kilo\ohm} liegen auch zwei Mal parallel, deshalb muss der Gesamtwiderstand die Hälfte betragen.
Das Ergebnis ist in Ohm angegeben.
[picture:199:a_Widerstandsnetzwerk2:belasteter Spannungsteiler]
%todo Diese Frage gehört zum Abschnitt Spannungsteiler 2
In der Praxis ist ein Spannungsteiler oft durch R_L belastet, wie es im Schaltbild zu sehen ist.
[question:AD114]
Die Spannung U_2 muss dann im Vergleich zum unbelasteten Spannungsteiler kleiner werden .
U_2 kann man ermitteln, indem zuerst der Gesamtwiderstand R_{2L} der Parallelschaltung von R_2 und R_L berechnet wird. Danach berechnet man den Gesamtwiderstand R_{ges} der Schaltung und mit I = \frac {U}{R_{ges}} den Gesamtstrom. Dieser Strom fließt auch durch den R_{2L} und bewirkt den Spannungsfall U_2.
Lösungshilfen:
AD 106: \qty{30}{\volt}
AD 107: \qty{0,5}{\milli\ampere}
AD 108: \qty{2,5}{\milli\watt}
AD 109: \qtyrange{267}{292}{\ohm}
AD 110: \qty{1210}{\ohm}
AD 114: \qty{1,8}{\volt}
Es gibt auch ein Experiment.