162 lines
11 KiB
Markdown
Executable File
162 lines
11 KiB
Markdown
Executable File
I Instegscertifikatet har vi redan lärt känna decibel som ett verktyg för att beskriva förhållanden, och sett att en effektändring på $\qty{3}{\dB}$ motsvarar en effektfaktor på $\num{2}$. Tabell [ref:a_dezibel_leistungsfaktoren] innehåller fler viktiga motsvarigheter.
|
|
|
|
<margin>
|
|
| c:dB | c:≈ Effektfaktor |
|
|
| $-20$ | $\num{0,01}$ |
|
|
| $-10$ | $\num{0,1}$ |
|
|
| $-6$ | $\num{0,25}$ |
|
|
| $-3$ | $\num{0,5}$ |
|
|
| $-1$ | $\num{0,79}$ |
|
|
| $0$ | $\num{1}$ |
|
|
| $1,5$ | $\sqrt{2} = \num{1,41}$ |
|
|
| $2,15$ | $\num{1,64}$ |
|
|
| $3$ | $\num{2}$ |
|
|
| $5$ | $\sqrt{10} = \num{3,16}$ |
|
|
| $6$ | $\num{4}$ |
|
|
| $10$ | $\num{10}$ |
|
|
| $20$ | $\num{100}$ |
|
|
[table:a_dezibel_leistungsfaktoren:Viktiga effektfaktorer i $\unit{\dB}$]
|
|
</margin>
|
|
|
|
För omräkning av ett effektförhållande till $\unit{\dB}$ används följande formel, som du redan har sett tidigare. Förhållandet $g$ mellan två effekter $P_1$ och $P_2$ i $\unit{\dB}$ är:
|
|
|
|
$g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\unit{\dB}$
|
|
|
|
Exempel: En förstärkare har ineffekten $P_1 = \qty{2,5}{\watt}$ och uteffekten $P_2 = \qty{38}{\watt}$. Förstärkningen är då $g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{\qty{38}{\watt}}{\qty{2,5}{\watt}}\right)\unit{\dB} = \qty{11,8}{\dB}$.
|
|
|
|
Vill man få fram en förhållandefaktor ur ett $\unit{\dB}$-värde måste formeln formas om:
|
|
|
|
$\begin{align*} g &= 10 \cdot \log_{10}\left( x \right) \unit{\dB} & \quad\quad\quad &|: \qty{10}{\dB} \\ \frac{g}{\qty{10}{\dB}} &= \log_{10}\left( x \right) &~&| \quad 10^{x}\\ x &= 10^{\frac{g}{\qty{10}{\dB}}} &~&~\end{align*}$
|
|
|
|
Med dessa två formler kan vi enkelt räkna om mellan $\unit{\dB}$-värden och förhållandefaktorer. Exempel: En förstärkning på $\qty{16}{\dB}$ ger med $\qty{1}{\watt}$ på ingången uteffekten $\qty{1}{\watt} \cdot 10^{1,6} \approx \qty{40}{\watt}$. Utan miniräknare: $\qty{16}{\dB} = \qty{10}{\dB} + \qty{6}{\dB}$, alltså faktor $10 \cdot 4 = 40$.
|
|
|
|
---
|
|
|
|
<tip>
|
|
Du har redan lärt dig följande knep: Decibelvärden som slutar på ”$0$” kan uppskattas helt utan miniräknare: Håll för den sista nollan, så anger siffran antalet nollor i förhållandefaktorn. Exempel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow 3~\text{nollor} \rightarrow \text{förhållandefaktor}~1000$!
|
|
|
|
Det går också att räkna åt andra hållet: En etta med $12$ nollor ($\num{1000000000000}$) i $\unit{\dB}$ är helt enkelt antalet nollor, alltså $12$, multiplicerat med $10$. Det ger en förstärkningsfaktor på $\qty{120}{\dB}$.
|
|
|
|
Även för $\unit{\dB}$-värden som inte slutar på $0$ kan man hitta faktorn genom uppdelning:
|
|
|
|
* Man kan dela upp $\qty{9}{\dB}$ i $\qty{6}{\dB} + \qty{3}{\dB}$, vilket motsvarar en multiplikation $4\cdot 2 = 8$.
|
|
* Vilken faktor motsvarar ett effektförhållande på $\qty{17}{\dB}$? $\qty{17}{\dB} = \qty{20}{\dB} - \qty{3}{\dB}$, alltså faktor $100$ delat med $2$ är $50$.
|
|
</tip>
|
|
|
|
Decibel ($\unit{\dB}$) beskriver i grunden ett dimensionslöst förhållande, till exempel mellan effekter eller spänningar. Därför används $\unit{\dB}$ framför allt för att ange förstärkning och dämpning. I dessa fall behövs inget ytterligare tillägg, eftersom det bara är förhållandet mellan två storheter som anges. Negativa decibelvärden betecknar förresten förhållanden mindre än $1$. Så motsvarar $\qty{-3}{\dB}$ ett förhållande på $\frac{1}{2} = \num{0,5}$.
|
|
|
|
Man kan också använda decibelvärden för att ange en absolut nivå. Då krävs dock en fast referens $P_0$:
|
|
|
|
$p = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P}{P_0}\right)\unit{\dB}$
|
|
|
|
---
|
|
|
|
Referensen kan till exempel vara en effekt på $\qty{1}{\milli\watt}$. Då får decibelvärdet ett motsvarande tillägg: Om nivån är relaterad till $\qty{1}{\milli\watt}$ talar man om $\unit{\dBm}$. Därmed är det entydigt fastlagt vilket absolut effektvärde decibelnivån syftar på.
|
|
|
|
Om du till exempel möter uppgiften ”Sändaren har uteffekten $\qty{20}{\dBm}$” är det lätt att räkna om värdet till milliwatt. En nivå på $\qty{20}{\dB}$ motsvarar effektfaktorn $100$ (alltså två nollor). Faktorn multipliceras med referensen $\qty{1}{\milli\watt}$:
|
|
|
|
$ P = 100 \cdot \qty{1}{\milli\watt} = \qty{100}{\milli\watt}$
|
|
|
|
I tabell [ref:a_bezugsgroessen] listas de viktigaste referenserna och deras $\unit{\dB}$-beteckningar.
|
|
|
|
<margin>
|
|
| l: Beteckning | X: Referensvärde |
|
|
| $\unit{\dBm}$ | $\qty{1}{\milli\watt}$ |
|
|
| $\unit{\dBW}$ | $\qty{1}{\watt}$ |
|
|
| $\unit{\dBu}$ | $\qty{0,775}{\volt}$ |
|
|
| $\unit{\dB\micro\volt}$ | $\qty{1}{\micro\volt}$ |
|
|
[table:a_bezugsgroessen:Viktiga referensvärden]
|
|
</margin>
|
|
|
|
Ytterligare exempel: $\qty{20}{\dBW}$ motsvarar $P = 10^{\frac{\qty{20}{\dBW}}{10}} \cdot \qty{1}{\watt} = \qty{100}{\watt}$. Och $\qty{1}{\watt} = \qty{1000}{\milli\watt}$ motsvarar $\qty{30}{\dBm}$; en förstärkning på $\qty{10}{\dB}$ (faktor 10) ger $\qty{10000}{\milli\watt} = \qty{40}{\dBm}$.
|
|
|
|
---
|
|
|
|
Varför gör man egentligen så här och anger absoluta effekter i $\unit{\dBm}$ och $\unit{\dBW}$? Som redan antytts är det främsta syftet med decibel att förenkla beräkningar. När förstärkningar och dämpningar anges i decibel kan hela signalkedjor överslagsräknas med enkel addition och subtraktion, utan krångliga multiplikationer och divisioner.
|
|
|
|
Figur [ref:e_signalkette] visar en sådan signalkedja med tre förstärkarsteg. Insignalen har effekten $\qty{1}{\milli\watt}$, vilket motsvarar $\qty{0}{\dBm}$. Genom de tre förstärkarstegen förstärks signalen sammanlagt till $\qty{60}{\dBm}$ (alltså $\num{1000000}\cdot \qty{1}{\milli\watt}$), vilket motsvarar en effekt på $\qty{1000}{\watt}$.
|
|
|
|
Figur [ref:e_signalkette_2] visar ett annat exempel på en signalkedja, där dessutom ett dämpsteg med dämpningen $\qty{20}{\dB}$ används, vilket motsvarar en förstärkning på $\qty{-20}{\dB}$. Insignalen har effekten $\qty{1}{\milli\watt}$, alltså $\qty{0}{\dBm}$. Det första förstärkarsteget höjer signalen till $\qty{10}{\dBm}$. Sedan dämpas den av dämpsteget till $\qty{-10}{\dBm}$ och förstärks slutligen av det andra förstärkarsteget tillbaka till $\qty{0}{\dBm}$, vilket åter motsvarar $\qty{1}{\milli\watt}$.
|
|
|
|
<margin>
|
|
[picture:877:e_signalkette:Signalkedja med tre förstärkare]
|
|
[picture:1053:e_signalkette_2:Signalkedja med två förstärkare och ett dämpsteg]
|
|
</margin>
|
|
|
|
<indepth>
|
|
Varför är det tillåtet att dra en dämpning på $\qty{3}{\dB}$ från nivån $\qty{9}{\dBm}$? Båda värdena har ju olika enheter! Enheten bel ($\unit{\bel}$) respektive decibel ($\unit{\dB}$) är en hjälpenhet (även kallad pseudoenhet).
|
|
I princip kunde talvärdet också skrivas utan enheten $\unit{\dB}$. Men med tillägget $\unit{\dB}$ framgår det att det rör sig om ett logaritmiskt förhållande mellan två storheter. Utan enheten skulle man vara tvungen att med ord beskriva vad talvärdet betyder.
|
|
</indepth>
|
|
|
|
För att bestämma den totala förstärkningen hos en flerstegs effektförstärkare tar man differensen mellan utgående och ingående effekt genom subtraktion av dBm-värdena med rätt tecken. Exempel: Ineffekt $\qty{-5}{\dBm}$ och uteffekt $\qty{20}{\dBm}$ ger en total förstärkning på $\qty{25}{\dB}$ ($\qty{20}{\dBm} - (\qty{-5}{\dBm}) = \qty{25}{\dB}$).
|
|
|
|
Dessutom har vi tidigare mött tilläggen $\unit{\dBd}$ och $\unit{\dBi}$, som används för antennförstärkning. Då är decibelvärdet inte relaterat till en effekt eller spänning utan till en bestämd referensantenn. Vanliga är $\unit{\dBi}$, relaterat till den isotropa kulstrålaren, samt $\unit{\dBd}$, relaterat till halvvågsdipolen.
|
|
|
|
---
|
|
|
|
Förutom effektförhållanden kan vi också använda decibel för att ange *spänningsförhållanden* och *spänningsnivåer*. För det kan vi använda formeln $P = \frac{U^2}{R}$. Då kan vi skriva:
|
|
|
|
$\begin{split}g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\\ g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{\frac{U_1^2}{\cancel{R}}}{\frac{U_2^2}{\cancel{R}}}\right)\\ g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right) \end{split}$
|
|
|
|
<tip>
|
|
*Att räkna med logaritmer:*
|
|
Några enkla räkneregler gör det möjligt att lösa decibeluppgifter utan miniräknare.
|
|
|
|
* Logaritmen av en produkt av två tal är summan av logaritmerna: $\log_{10}(a\cdot b) = \log_{10}(a)+ \log_{10}(b)$
|
|
* Logaritmen av en kvot av två tal är differensen mellan logaritmerna: $\log_{10}(a / b) = \log_{10}(a) - \log_{10}(b)$
|
|
* Logaritmen av ett kvadrerat tal: $\log_{10}(x^2)= 2 \cdot \log_{10}(x)$
|
|
* Logaritmen av en kvadratrot: $\log_{10}(\sqrt{x})= \frac{1}{2} \cdot \log_{10}(x)$
|
|
</tip>
|
|
|
|
Logaritmen av ett kvadrerat tal är alltså två gånger logaritmen av talet:
|
|
|
|
$\log_{10}(x^2)=2 \cdot \log_{10}(x)$
|
|
|
|
Det följer att:
|
|
|
|
$\begin{split} g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right)\\ g &= 10 \cdot 2 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \\ g &= 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \end{split}$
|
|
|
|
---
|
|
|
|
Därför beräknar vi ett förhållande *$g$* mellan två spänningar $U_1$ och $U_2$ genom att multiplicera logaritmen av förhållandet inte med faktor $10$ utan med faktor $20$.
|
|
|
|
Exempel: $U_1 = \qty{1}{\milli\volt}$ och $U_2 = \qty{4}{\milli\volt}$ ger $g = 20\cdot \log_{10}\left(\frac{\qty{4}{\milli\volt}}{\qty{1}{\milli\volt}}\right)\unit{\dB} = \qty{12}{\dB}$.
|
|
|
|
<attention>
|
|
Vid decibelberäkning, kontrollera alltid noga om det gäller effekt- eller spänningsförhållanden!
|
|
</attention>
|
|
|
|
För att bestämma spänningsnivåer måste vi först fastlägga en referensspänning (jämför tabell [ref:a_bezugsgroessen]). För mottagna signaler mäter vi gärna de (mycket små) spänningarna vid mottagaringången i $\unit{\micro\volt}$. Motsvarande spänningsnivå får då enheten $\unit{\dBuV}$. Exempel:
|
|
|
|
$\qty{10}{\micro\volt} \rightarrow 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{\qty{10}{\micro\volt}}{\qty{1}{\micro\volt}}\right)=\qty{20}{\dBuV}$
|
|
|
|
---
|
|
|
|
Ett annat exempel har referensvärdet $\qty{1}{\micro\volt\per\meter}$ (fältstyrka). Då gäller $\qty{120}{\dB(\micro\volt\per\meter)} \rightarrow U = 10^{\frac{120}{20}} \cdot \qty{1}{\micro\volt\per\meter} = \qty{1}{\volt\per\meter}$.
|
|
|
|
<attention>
|
|
Observera att här menas $\unit{\dB(\micro\volt\per\meter)}$ och inte $\unit{(\dB\micro\volt)/\meter}$!
|
|
</attention>
|
|
|
|
<tip>
|
|
Även för spänningar kan man räkna mycket i huvudet med hjälp av tabellen:
|
|
|
|
| c:dB | c:≈ Spänningsförhållande |
|
|
| $-20$ | $\num{0,1}$ |
|
|
| $-10$ | $\num{0,32}$ |
|
|
| $-6$ | $\num{0,5}$ |
|
|
| $-3$ | $\num{0,71}$ |
|
|
| $-1$ | $\num{0,89}$ |
|
|
| $0$ | $\num{1}$ |
|
|
| $1$ | $\num{1,12}$ |
|
|
| $3$ | $\num{1,41}$ |
|
|
| $6$ | $2$ |
|
|
| $10$ | $3,16$ |
|
|
| $20$ | $10$ |
|
|
[table:a_spannungsverhaeltnisse:Viktiga spänningsförhållanden i $\unit{\dB}$]
|
|
|
|
*Exempel:*
|
|
|
|
* Hur många $\unit{\dB}$ motsvarar ett spänningsförhållande på $4$? $4 = 2 \cdot 2 \rightarrow \qty{6}{\dB} + \qty{6}{\dB} = \qty{12}{\dB}$
|
|
</tip>
|