50ohm-contents-dl/contents/slides/svangningskrets_2.md

Gränsfrekvens

För högpass- och lågpassfilter gäller för gränsfrekvensen

För RL-filter $R = X_\text{L}$ $f_\text{g} = \frac{R}{2 \pi \cdot L}$ För RC-filter $R = X_\text{C}$ $f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C}$

---

Lösningsgång

• givet: R = \qty{4,7}{\kilo\ohm}
• givet: C = \qty{2,2}{\nano\farad}
• sökt: f_\text{g}

$f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{4,7}{\kilo\ohm} \cdot \qty{2,2}{\nano\farad}} \approx \qty{15,4}{\kilo\hertz}$ --- #### Lösningsgång * givet: $R = \qty{10}{\kilo\ohm}$ * givet: $C = \qty{47}{\nano\farad}$ * sökt: $f_\text{g}$ $f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{47}{\nano\farad}} \approx \qty{339}{\hertz}$ --- #### Lösningsgång * givet: $R_1 = \qty{4,7}{\kilo\ohm}$ * givet: $C_1 = \qty{6,8}{\nano\farad}$ * sökt: $f_\text{g}$ $C_2$ och alla övriga uppgifter saknar betydelse för lågpassfiltret. $f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R_1 \cdot C_1} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{4,7}{\kilo\ohm} \cdot \qty{6,8}{\nano\farad}} \approx \qty{5}{\kilo\hertz}$ --- ## Resonansfrekvens

• Parallell- eller seriekoppling av spole och kondensator \rightarrow svängningskrets
• Höga frekvenser \rightarrow hög reaktans hos spolen
• Låga frekvenser \rightarrow hög reaktans hos kondensatorn
• Det finns en frekvens där spole och kondensator har samma reaktans \rightarrow resonansfrekvens

--- style="font-size: smaller;"

Parallellresonanskrets

[picture:233:a_schwingkreis_parallelschwingkreis:Parallellresonanskrets och återgivning av impedansen mot frekvensen]

• Ideala komponenter laddar ständigt om varandra
• Teoretiskt är impedansen oändligt hög vid resonansfrekvensen
• I praktiken bestäms den totala impedansen av den komponent som har lägst reaktans
• Vid frekvenser över och under resonansfrekvensen har parallellresonanskretsen lägre impedans

--- style="font-size: smaller;"

Serieresonanskrets

[picture:230:a_schwingkreis_reihenschwingkreis:Serieresonanskrets och återgivning av impedansen mot frekvensen]

• Teoretiskt är impedansen \qty{0}{\ohm} vid resonansfrekvensen
• I praktiken bestäms impedansen av det ohmska motståndet
• Vid frekvenser över och under resonansfrekvensen har serieresonanskretsen högre impedans

---

Resonans

För parallell- och serieresonanskrets:

X_\text{C} = X_\text{L}

Reaktanserna är lika stora.

Resonansfrekvens med Thomsons svängningsformel:

f_0 = \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}

William Thomson, senare Lord Kelvin, 1853 --- #### Lösningsgång * givet: $L = \qty{1,2}{\micro\henry}$ * givet: $C = \qty{6,8}{\pico\farad}$ * givet: $R = \qty{10}{\ohm}$ * sökt: $f_0$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{1,2}{\micro\henry} \cdot \qty{6,8}{\pico\farad}}} \approx \qty{55,7}{\mega\hertz} \end{split}$ Motståndet $R$ behövs inte för beräkningen. --- #### Lösningsgång * givet: $L = \qty{10}{\micro\henry}$ * givet: $C = \qty{1}{\nano\farad}$ * sökt: $f_0$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{10}{\micro\henry} \cdot \qty{1}{\nano\farad}}} \approx \qty{1,592}{\mega\hertz} \end{split}$ --- #### Lösningsgång * givet: $L = \qty{100}{\micro\henry}$ * givet: $C = \qty{0,01}{\micro\farad}$ * sökt: $f_0$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{100}{\micro\henry} \cdot \qty{0,01}{\micro\farad}}} \approx \qty{159}{\kilo\hertz} \end{split}$ --- #### Lösningsgång * givet: $L = \qty{2,2}{\micro\henry}$ * givet: $C = \qty{56}{\pico\farad}$ * sökt: $f_0$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{2,2}{\micro\henry} \cdot \qty{56}{\pico\farad}}} \approx \qty{14,34}{\mega\hertz} \end{split}$ --- style="font-size: 0.7em;" #### Lösningsgång * givet: $C_1 = \qty{0,1}{\nano\farad}$ * givet: $C_2 = \qty{1,5}{\nano\farad}$ * givet: $C_3 = \qty{220}{\pico\farad}$ * givet: $L = \qty{1,2}{\milli\henry}$ * sökt: $f_0$ $C = C_1 + C_2 + C_3 = \qty{0,1}{\nano\farad} + \qty{1,5}{\nano\farad} + \qty{220}{\pico\farad} = \qty{1,82}{\nano\farad}$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{1,2}{\milli\henry} \cdot \qty{1,82}{\nano\farad}}} \approx \qty{107,7}{\kilo\hertz} \end{split}$ --- ### Ändra resonansfrekvensen

• Större spole eller kondensator \rightarrow lägre resonansfrekvens
• Mindre spole eller kondensator \rightarrow högre resonansfrekvens

Öka induktansen * Öka varvtalet * Trycka ihop spolen * Föra in en ferritkärna

---

Spänningsstyrd svängningskrets

[picture:752:a_schwingkreis_potentiometer:Ändring av kapacitansen med en varikapdiod]

• Varikapdioden ändras med en styrspänning på motståndsspänningsdelaren
• Lägre spänning över varikapdioden \rightarrow smalare spärrskikt i varikapdioden \rightarrow större kapacitans
• Seriekopplade kondensatorer \rightarrow kapacitansen blir mindre \rightarrow resonansfrekvensen stiger

--- style="font-size: smaller;"

Bandpassfilter

[picture:785:a_schwingkreis_bandpass:Bandpassfilter av flera svängningskretsar]

• Kombination av parallell- och serieresonanskretsar
• Släpper igenom ett visst frekvensområde
• Parallellresonanskretsar fungerar som högohmiga motstånd
• Serieresonanskretsen fungerar som ett lågohmigt motstånd

---

Bandbredd

• Starkt beroende av det ohmska motståndet
• Anges i dB i förhållande till ett referensvärde för filtret
• T.ex. bandbredd vid $\qty{-3}{\dB}$-värdet
• Halva effekten i en signal kan fortfarande passera filtret
• Eller \num{0,7} gånger signalspänningen

---

Vanliga bandbredder

• Smalbandigt med \qty{500}{\hertz} för telegrafi (CW)
• Bredbandigt med \qty{2,7}{\kilo\hertz} för talmodulation (SSB)

---

Q-värde hos en svängningskrets

• Även kallat Q-faktor
• Mått på energiförlust
• Förhållandet mellan reaktanserna och det ohmska motståndet vid resonans (X_\text{L} = X_\text{C})

Serieresonanskrets $Q = \frac{f_0}{B} = \frac{X_\text{L}}{R_\text{S}}$ Parallellresonanskrets $Q = \frac{f_0}{B} = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}}$

--- style="font-size: 0.7em;"

Lösningsgång

* givet: $L = \qty{100}{\micro\henry}$ * givet: $C = \qty{0,01}{\micro\farad}$ * givet: $R_\text{S} = \qty{10}{\ohm}$ * sökt: $Q$ Räkna först ut $f_0$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{100}{\micro\henry} \cdot \qty{0,01}{\micro\farad}}} \approx \qty{159,2}{\kilo\hertz} \end{split}$ Räkna sedan ut $B$ eller $X_\text{L}$ $\begin{split} X_\text{L} &= \omega \cdot L = 2 \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \pi \cdot \qty{159,2}{\kilo\hertz} \cdot \qty{100}{\micro\henry} \approx \qty{100,03}{\ohm} \end{split}$ $Q = \frac{X_\text{L}}{R_\text{S}} = \frac{\qty{100,03}{\ohm}}{\qty{10}{\ohm}} \approx 10$ --- style="font-size: 0.7em;" #### Lösningsgång * givet: $L = \qty{2,2}{\micro\henry}$ * givet: $C = \qty{56}{\pico\farad}$ * givet: $R_\text{P} = \qty{1}{\kilo\ohm}$ * sökt: $Q$ Räkna först ut $f_0$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{2,2}{\micro\henry} \cdot \qty{56}{\pico\farad}}} \approx \qty{14,34}{\mega\hertz} \end{split}$ Räkna sedan ut $B$ eller $X_\text{L}$ $\begin{split} X_\text{L} &= \omega \cdot L = 2 \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \pi \cdot \qty{14,34}{\mega\hertz} \cdot \qty{2,2}{\micro\henry} \approx \qty{198,2}{\ohm} \end{split}$ $Q = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}} = \frac{\qty{1}{\kilo\ohm}}{\qty{198,2}{\ohm}} \approx 5$ --- ### Beräkna bandbredd

Via resonansfrekvens och Q-värde

Q = \frac{f_0}{B} \Rightarrow B = \frac{f_0}{Q}

Eller insatt med Thomsons svängningsformel Serieresonanskrets $B = \frac{R_\text{S}}{2 \pi \cdot L}$ Parallellresonanskrets $B = \frac{1}{2 \pi \cdot R_\text{P} \cdot C}$ Härledningen visas inte

---

Lösningsgång

• givet: L = \qty{2,2}{\micro\henry}
• givet: C = \qty{56}{\pico\farad}
• givet: R_\text{P} = \qty{1}{\kilo\ohm}
• sökt: B

$\begin{split} B &= \frac{1}{2 \pi \cdot R_\text{P} \cdot C}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{1}{\kilo\ohm} \cdot \qty{56}{\pico\farad}} \approx \qty{2,84}{\mega\hertz} \end{split}$

---

Lösningsgång

• givet: L = \qty{100}{\micro\henry}
• givet: C = \qty{0,01}{\micro\farad}
• givet: R_\text{S} = \qty{10}{\ohm}
• sökt: B

$B = \frac{R_\text{S}}{2 \pi \cdot L} = \frac{\qty{10}{\ohm}}{2 \pi \cdot \qty{100}{\micro\henry}} \approx \qty{15,9}{\kilo\hertz}$ --- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" ## Koppling

[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktiv koppling av två svängningskretsar och spänningsdiagram över frekvensen]

• Mellan kopplingssteg eller filter används ofta kopplade svängningskretsar
• Två svängningskretsar kopplas till varandra induktivt eller kapacitivt
• Kopplingsgraden bestämmer den ömsesidiga påverkan, bandbredden och genomsläppskurvan

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" [picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktiv koppling av två svängningskretsar och spänningsdiagram över frekvensen]

• d: lös koppling \rightarrow knappt någon ömsesidig påverkan, mycket hög genomsläppsdämpning och mycket liten bandbredd
• c: underkritisk koppling \rightarrow knappt någon ömsesidig påverkan, hög genomsläppsdämpning och liten bandbredd

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" [picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktiv koppling av två svängningskretsar och spänningsdiagram över frekvensen]

• b: kritisk koppling \rightarrow viss ömsesidig påverkan, platt genomsläppskurva med låg dämpning och platå i passbandet samt bra bandbredd

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" [picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktiv koppling av två svängningskretsar och spänningsdiagram över frekvensen]

• a: överkritisk koppling \rightarrow stark ömsesidig påverkan, förändrade resonansfrekvenser, stor bandbredd och förvrängd genomsläppskurva i passbandet med ”svackor”