## Gränsfrekvens

För högpass- och lågpassfilter gäller för gränsfrekvensen

<left>
För RL-filter
$R = X_\text{L}$
$f_\text{g} = \frac{R}{2 \pi \cdot L}$
</left>
<right>
För RC-filter
$R = X_\text{C}$
$f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C}$
</right>

---
#### Lösningsgång
* givet: $R = \qty{4,7}{\kilo\ohm}$
* givet: $C = \qty{2,2}{\nano\farad}$
* sökt: $f_\text{g}$

<fragment>
$f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{4,7}{\kilo\ohm} \cdot \qty{2,2}{\nano\farad}} \approx \qty{15,4}{\kilo\hertz}$
</fragment>
---
#### Lösningsgång
* givet: $R = \qty{10}{\kilo\ohm}$
* givet: $C = \qty{47}{\nano\farad}$
* sökt: $f_\text{g}$

<fragment>
$f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{47}{\nano\farad}} \approx \qty{339}{\hertz}$
</fragment>
---
#### Lösningsgång
* givet: $R_1 = \qty{4,7}{\kilo\ohm}$
* givet: $C_1 = \qty{6,8}{\nano\farad}$
* sökt: $f_\text{g}$

<fragment>
$C_2$ och alla övriga uppgifter saknar betydelse för lågpassfiltret.
</fragment>

<fragment>
$f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R_1 \cdot C_1} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{4,7}{\kilo\ohm} \cdot \qty{6,8}{\nano\farad}} \approx \qty{5}{\kilo\hertz}$
</fragment>
---
## Resonansfrekvens

* Parallell- eller seriekoppling av spole och kondensator $\rightarrow$ svängningskrets
* Höga frekvenser $\rightarrow$ hög reaktans hos spolen
* Låga frekvenser $\rightarrow$ hög reaktans hos kondensatorn
* Det finns en frekvens där spole och kondensator har samma reaktans $\rightarrow$ *resonansfrekvens*

--- style="font-size: smaller;"
## Parallellresonanskrets

[picture:233:a_schwingkreis_parallelschwingkreis:Parallellresonanskrets och återgivning av impedansen mot frekvensen]

* Ideala komponenter laddar ständigt om varandra
* Teoretiskt är impedansen oändligt hög vid resonansfrekvensen
* I praktiken bestäms den totala impedansen av den komponent som har lägst reaktans
* Vid frekvenser över och under resonansfrekvensen har parallellresonanskretsen lägre impedans

--- style="font-size: smaller;"
## Serieresonanskrets

[picture:230:a_schwingkreis_reihenschwingkreis:Serieresonanskrets och återgivning av impedansen mot frekvensen]

* Teoretiskt är impedansen $\qty{0}{\ohm}$ vid resonansfrekvensen
* I praktiken bestäms impedansen av det ohmska motståndet
* Vid frekvenser över och under resonansfrekvensen har serieresonanskretsen högre impedans

---
## Resonans

För parallell- och serieresonanskrets:

$X_\text{C} = X_\text{L}$

Reaktanserna är lika stora.

<fragment>
Resonansfrekvens med Thomsons svängningsformel:

$f_0 = \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$
</fragment>

<note>
William Thomson, senare Lord Kelvin, 1853
</note>
---
#### Lösningsgång
* givet: $L = \qty{1,2}{\micro\henry}$
* givet: $C = \qty{6,8}{\pico\farad}$
* givet: $R = \qty{10}{\ohm}$
* sökt: $f_0$

<fragment>
$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{1,2}{\micro\henry} \cdot \qty{6,8}{\pico\farad}}} \approx \qty{55,7}{\mega\hertz} \end{split}$
</fragment>
<fragment>
Motståndet $R$ behövs inte för beräkningen.
</fragment>
---
#### Lösningsgång
* givet: $L = \qty{10}{\micro\henry}$
* givet: $C = \qty{1}{\nano\farad}$
* sökt: $f_0$

<fragment>
$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{10}{\micro\henry} \cdot \qty{1}{\nano\farad}}} \approx \qty{1,592}{\mega\hertz} \end{split}$
</fragment>
---
#### Lösningsgång
* givet: $L = \qty{100}{\micro\henry}$
* givet: $C = \qty{0,01}{\micro\farad}$
* sökt: $f_0$

<fragment>
$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{100}{\micro\henry} \cdot \qty{0,01}{\micro\farad}}} \approx \qty{159}{\kilo\hertz} \end{split}$
</fragment>
---
#### Lösningsgång
* givet: $L = \qty{2,2}{\micro\henry}$
* givet: $C = \qty{56}{\pico\farad}$
* sökt: $f_0$

<fragment>
$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{2,2}{\micro\henry} \cdot \qty{56}{\pico\farad}}} \approx \qty{14,34}{\mega\hertz} \end{split}$
</fragment>
--- style="font-size: 0.7em;"
#### Lösningsgång
* givet: $C_1 = \qty{0,1}{\nano\farad}$
* givet: $C_2 = \qty{1,5}{\nano\farad}$
* givet: $C_3 = \qty{220}{\pico\farad}$
* givet: $L = \qty{1,2}{\milli\henry}$
* sökt: $f_0$

<fragment>
$C = C_1 + C_2 + C_3 = \qty{0,1}{\nano\farad} + \qty{1,5}{\nano\farad} + \qty{220}{\pico\farad} = \qty{1,82}{\nano\farad}$
</fragment>
<fragment>
$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{1,2}{\milli\henry} \cdot \qty{1,82}{\nano\farad}}} \approx \qty{107,7}{\kilo\hertz} \end{split}$
</fragment>
---
### Ändra resonansfrekvensen

* Större spole eller kondensator $\rightarrow$ lägre resonansfrekvens
* Mindre spole eller kondensator $\rightarrow$ högre resonansfrekvens

<fragment>
Öka induktansen
* Öka varvtalet
* Trycka ihop spolen
* Föra in en ferritkärna

</fragment>

---
### Spänningsstyrd svängningskrets

[picture:752:a_schwingkreis_potentiometer:Ändring av kapacitansen med en varikapdiod]

* Varikapdioden ändras med en styrspänning på motståndsspänningsdelaren
* Lägre spänning över varikapdioden $\rightarrow$ smalare spärrskikt i varikapdioden $\rightarrow$ större kapacitans
* Seriekopplade kondensatorer $\rightarrow$ kapacitansen blir mindre $\rightarrow$ resonansfrekvensen stiger

--- style="font-size: smaller;"
## Bandpassfilter

[picture:785:a_schwingkreis_bandpass:Bandpassfilter av flera svängningskretsar]

* Kombination av parallell- och serieresonanskretsar
* Släpper igenom ett visst frekvensområde
* Parallellresonanskretsar fungerar som högohmiga motstånd
* Serieresonanskretsen fungerar som ett lågohmigt motstånd

---
## Bandbredd

* Starkt beroende av det ohmska motståndet
* Anges i dB i förhållande till ett referensvärde för filtret
* T.ex. *bandbredd* vid *$\qty{-3}{\dB}$-värdet*
* Halva effekten i en signal kan fortfarande passera filtret
* Eller $\num{0,7}$ gånger signalspänningen

---
### Vanliga bandbredder

* Smalbandigt med $\qty{500}{\hertz}$ för telegrafi (CW)
* Bredbandigt med $\qty{2,7}{\kilo\hertz}$ för talmodulation (SSB)

---
## Q-värde hos en svängningskrets

* Även kallat Q-faktor
* Mått på energiförlust
* Förhållandet mellan reaktanserna och det ohmska motståndet vid resonans ($X_\text{L} = X_\text{C}$)

<fragment>
<left>
Serieresonanskrets
$Q = \frac{f_0}{B} = \frac{X_\text{L}}{R_\text{S}}$
</left>
<right>
Parallellresonanskrets
$Q = \frac{f_0}{B} = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}}$
</right>
</fragment>
  
--- style="font-size: 0.7em;"
#### Lösningsgång
<left>
* givet: $L = \qty{100}{\micro\henry}$
* givet: $C = \qty{0,01}{\micro\farad}$
</left>
<right>
* givet: $R_\text{S} = \qty{10}{\ohm}$
* sökt: $Q$
</right>

<fragment>
Räkna först ut $f_0$
$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{100}{\micro\henry} \cdot \qty{0,01}{\micro\farad}}} \approx \qty{159,2}{\kilo\hertz} \end{split}$
</fragment>
<fragment>
Räkna sedan ut $B$ eller $X_\text{L}$
$\begin{split} X_\text{L} &= \omega \cdot L = 2 \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \pi \cdot \qty{159,2}{\kilo\hertz} \cdot \qty{100}{\micro\henry} \approx \qty{100,03}{\ohm} \end{split}$
</fragment>
<fragment>
$Q = \frac{X_\text{L}}{R_\text{S}} = \frac{\qty{100,03}{\ohm}}{\qty{10}{\ohm}} \approx 10$
</fragment>
--- style="font-size: 0.7em;"
#### Lösningsgång
<left>
* givet: $L = \qty{2,2}{\micro\henry}$
* givet: $C = \qty{56}{\pico\farad}$
</left>
<right>
* givet: $R_\text{P} = \qty{1}{\kilo\ohm}$
* sökt: $Q$
</right>

<fragment>
Räkna först ut $f_0$
$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{2,2}{\micro\henry} \cdot \qty{56}{\pico\farad}}} \approx \qty{14,34}{\mega\hertz} \end{split}$
</fragment>
<fragment>
Räkna sedan ut $B$ eller $X_\text{L}$
$\begin{split} X_\text{L} &= \omega \cdot L = 2 \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \pi \cdot \qty{14,34}{\mega\hertz} \cdot \qty{2,2}{\micro\henry} \approx \qty{198,2}{\ohm} \end{split}$
</fragment>
<fragment>
$Q = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}} = \frac{\qty{1}{\kilo\ohm}}{\qty{198,2}{\ohm}} \approx 5$
</fragment>
---
### Beräkna bandbredd

Via resonansfrekvens och Q-värde

$Q = \frac{f_0}{B} \Rightarrow B = \frac{f_0}{Q}$

<fragment>
Eller insatt med Thomsons svängningsformel

<left>
Serieresonanskrets
$B = \frac{R_\text{S}}{2 \pi \cdot L}$
</left>
<right>
Parallellresonanskrets
$B = \frac{1}{2 \pi \cdot R_\text{P} \cdot C}$
</right>
</fragment>
<note>
Härledningen visas inte
</note>

---
#### Lösningsgång
* givet: $L = \qty{2,2}{\micro\henry}$
* givet: $C = \qty{56}{\pico\farad}$
* givet: $R_\text{P} = \qty{1}{\kilo\ohm}$
* sökt: $B$

<fragment>
$\begin{split} B &= \frac{1}{2 \pi \cdot R_\text{P} \cdot C}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{1}{\kilo\ohm} \cdot \qty{56}{\pico\farad}} \approx \qty{2,84}{\mega\hertz} \end{split}$
</fragment>

---
#### Lösningsgång
* givet: $L = \qty{100}{\micro\henry}$
* givet: $C = \qty{0,01}{\micro\farad}$
* givet: $R_\text{S} = \qty{10}{\ohm}$
* sökt: $B$

<fragment>
$B = \frac{R_\text{S}}{2 \pi \cdot L} = \frac{\qty{10}{\ohm}}{2 \pi \cdot \qty{100}{\micro\henry}} \approx \qty{15,9}{\kilo\hertz}$
</fragment>
--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
## Koppling

[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktiv koppling av två svängningskretsar och spänningsdiagram över frekvensen]

* Mellan kopplingssteg eller filter används ofta kopplade svängningskretsar
* Två svängningskretsar kopplas till varandra induktivt eller kapacitivt
* Kopplingsgraden bestämmer den ömsesidiga påverkan, bandbredden och genomsläppskurvan

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktiv koppling av två svängningskretsar och spänningsdiagram över frekvensen]

* d: *lös koppling* $\rightarrow$ knappt någon ömsesidig påverkan, mycket hög genomsläppsdämpning och mycket liten bandbredd
* c: *underkritisk koppling* $\rightarrow$ knappt någon ömsesidig påverkan, hög genomsläppsdämpning och liten bandbredd

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktiv koppling av två svängningskretsar och spänningsdiagram över frekvensen]

* b: *kritisk koppling* $\rightarrow$ viss ömsesidig påverkan, platt genomsläppskurva med låg dämpning och platå i passbandet samt bra bandbredd

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktiv koppling av två svängningskretsar och spänningsdiagram över frekvensen]
* a: *överkritisk koppling* $\rightarrow$ stark ömsesidig påverkan, förändrade resonansfrekvenser, stor bandbredd och förvrängd genomsläppskurva i passbandet med ”svackor”