refactor: removed kapitel verstärkungsleistung and moved questions to decibel 2

2026-08-02 22:51:41 +02:00
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@@ -22,16 +22,19 @@ Die Formelsammlung gibt für das Umrechnen eines Leistungsverhältnisses in $\un

 $g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\unit{\dB}$

+[question:AD428]
+
 Möchte man aus einem $\unit{\dB}$-Wert einen Verhältnisfaktor ermitteln, so muss die Formel umgestellt werden: 

 $\begin{align*} g &= 10 \cdot \log_{10}\left( x \right) \unit{\dB} & \quad\quad\quad &|: \qty{10}{\dB} \\ \frac{g}{\qty{10}{\dB}} &= \log_{10}\left( x \right) &~&| \quad 10^{x}\\ x &= 10^{\frac{g}{\qty{10}{\dB}}} &~&~\end{align*}$

-Mit diesen beiden Formeln können wir also leicht zwischen $\unit{\dB}$-Angaben und Verhältnisfaktoren umrechnen. Versuche nun die zwei folgenden Fragen zu berechnen: 
+Mit diesen beiden Formeln können wir also leicht zwischen $\unit{\dB}$-Angaben und Verhältnisfaktoren umrechnen. Versuche nun die drei folgenden Fragen zu berechnen: 

 ---

 [question:AA105]
 [question:AA106]
+[question:AD426]

 <tip>
 In der Klasse E haben wir bereits folgenden Trick kennengelernt: Ganz ohne Taschenrechner lassen sich Dezibelwerte abschätzen, die auf "$0$" enden: Einfach die letzte Null zuhalten, die Ziffer gibt dann die Anzahl der Nullen des Verhältnisfaktors an. Beispiel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow 3~\text{Nullen} \rightarrow \text{Verhältnisfaktor}~1000$!
@@ -100,7 +103,7 @@ Zusätzlich haben wir in der Klasse E bereits die Zusätze $\unit{\dBd}$ und $\u

 Neben den Leistungsverhältnissen können wir das Dezibel können auch verwenden, um *Spannungsverhältnisse* und *Spannungspegel* anzugeben. Dazu können wir die Formel $P = \frac{U^2}{R}$ verwenden. Also können wir schreiben:

-$\begin{split}g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\\ &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{\frac{U_1^2}{\cancel{R}}}{\frac{U_2^2}{\cancel{R}}}\right)\\ &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right) \end{split}$
+$\begin{split}g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\\ g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{\frac{U_1^2}{\cancel{R}}}{\frac{U_2^2}{\cancel{R}}}\right)\\ g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right) \end{split}$

 <tip>
 *Rechnen mit Logarithmen:*
@@ -118,13 +121,14 @@ $\log_{10}(x^2)=2 \cdot \log_{10}(x)$

 Es folgt daraus:

-$\begin{split} g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right)\\ &= 10 \cdot 2 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \\ &= 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \end{split}$
+$\begin{split} g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right)\\ g &= 10 \cdot 2 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \\ g &= 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \end{split}$

 ---

 Daher berechnen wir ein Verhältnis *$a$* zweier Spannungen $U_1$ und $U_2$, indem wir den Logarithmus des Verhältnisses nicht mit dem Faktor $10$, sondern mit dem Faktor $20$ multiplizieren. Diese Formel finden wir auch in der Formelsammlung.

 [question:AA111]
+[question:AD427]

 <attention>
 Bei der Dezibel-Berechnung immer genau beachten, ob es sich um Leistungs- oder Spannungsverhältnisse handelt!
@@ -1,59 +0,0 @@
-%TODO: Dieses Kapitel ist noch nicht abschließend bearbeitet und muss noch Überarbeitet werden!!!
-
-Der Verstärkungsfaktor vor Verstärkern wird meist in Dezibel ($\qty{\frac{1}{10}}{\bel}$) ausgedrückt. Dabei ist immer zu berücksichtigen, ob man die Spannungsverstärkung oder die Leistungsverstärkung eines Verstärkers betrachtet.
-*Leistung und Spannung verhalten sich nämlich quadratisch zueinander* und müssen unterschiedlich berechnet werden!
-Eine Verdoppelung der Spannung durch einen Verstärker entspricht einer Leistungsvervierfachung (bei gleicher Impedanz am Ein- und Ausgang des Verstärkers).
-
-Bei Betrachtung der Spannungsverstärkung eines Verstärkers können wir diese in Dezibel ($\unit{\dB}$) angeben. Hierzu müssen wir die beiden Spannungspegel im Quadrat (Ausgangspegel und Eingangspegel) zueinander ins Verhältnis setzen und dann den Zehner-Logarithmus ziehen. Wir erhalten dann das Ergebnis in Bel. Um dieses noch in Dezibel umzurechnen, muss es noch mit dem Faktor $10$ multipliziert werden.
-Um direkt die Spannungspegel in der Berechnung verwenden zu können und diese vorher nicht quadrieren zu müssen, kann man das Quadrat als Faktor $2$ aus dem Zehner-Logarithmus herausziehen.
-Daher muss das Ergebnis in diesem Fall noch mit dem Faktor $2$ multipliziert werden. Insgesamt also mit dem Faktor $10 \cdot 2 = 20$.
-
-<tip>
-Kurzer Exkurs in die Lograrithmen-Rechnung
-
-Ein Quadrat innerhalb des Logarithmus kann aus dem Logarithmus "herausgezogen" werden. Hierbei wird aus dem Quadrat der Faktor $2$. Analog verhält es sich mit höheren Potenzen. Hierbei wird die Potenz immer zum Multiplikator vor dem Logarithmus, wenn man diese aus dem Logarithmus "herauszieht".
-
-Beispiel: $\log(x^2) = 2 \cdot \log(x)$
-</tip>
-
-%TODO: Tip mit Berechnung von Bel und Dezibel bei Spannungs und Leistungsverhältnissen mit Erklärung warum der Faktor $2$ noch vor den Logarithmus wandert (Quadrat aus Logarithmus wird zu Faktor $2$ bei rausziehen).
-
-Bei Betrachtung der Leistungsverstärkung eines Verstärkers können wir diese ebenfalls in Dezibel ($\unit{\dB}$) angeben. Hierzu müssen wir die beiden Leistungspegel (Ausgangspegel und Eingangspegel) zueinander ins Verhältnis setzen und dann den Zehner-Logarithmus ziehen. Anschließend muss das Ergebnis noch mit dem Faktor $10$ multipliziert werden, um die Leistungsverstärkung in $\unit{\dB}$ zu erhalten.
-
-Die entsprechenden Formeln zur Berechnung der Leistungsverstärkung und Spannungsverstärkung von Verstärkern findet man auch in der Formelsammlung.
-
-[question:AD427]
-[question:AD428]
-
-Will man nun umgekehrt aus der Leistungsverstärkung in $\unit{\dB}$ das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung berechnen, so muss man zunächst den $\unit{\dB}$-Wert wieder in Bel umrechnen, indem man ihn zunächst durch den Faktor $10$ teilt. Diesen Wert muss man dann als 10er-Exponent berechnen.
-Daraus ergibt sich der Verstärkungsfaktor, der mit der Eingangsleistung multipliziert werden muss, um die Ausgangsleistung eines Verstärkers zu erhalten.
-Hierbei sollte man sich bestimmte Verhältnisse in $\unit{\dB}$ merken (siehe Formelsammlung!). Hierdurch kann die Berechnung deutlich vereinfacht werden.
-
-Beispiel:
-Um eine Verstärkung von $\qty{13}{\dB}$ in den Verstärkungsfaktor umzurechnen, kann man sich merken, dass $\qty{3}{\dB}$ immer einer Leistungsverdoppelung entsprechen und $\qty{10}{\dB}$ einer Leistungsverzehnfachung. Man multipliziert in diesem Fall die Verstärkungen $2$ und $10$ miteinander und erhält für $\qty{13}{\dB}$ den Verstärkungsfaktor $20$.
-
-<tip>
-Man kann sich bei Rechnung mit $\unit{\dB}$-Werten merken, dass eine Addition von einzelnen (bekannten) $\unit{\dB}$-Werten immer einer Multiplikation der entsprechenden Verstärkungsfaktoren entspricht.
-
-Beispiel:
-  
-$\qty{3}{\dB}$ = Faktor $2$ für Leistung und Faktor $\sqrt{2}$ für Spannung
-
-$\qty{6}{\dB}$ = Faktor $4$ für Leistung und Faktor $\sqrt{4}$ für Spannung
-
-$\qty{10}{\dB}$ = Faktor $10$ für Leistung und Faktor $\sqrt{10}$ für Spannung
-
-$\qty{20}{\dB}$ = Faktor $100$ für Leistung und Faktor $\sqrt{100}$ für Spannung
-
-$\qty{26}{\dB}$ für Leistung = $\qty{20}{\dB}$ + $\qty{6}{\dB}$ = Faktor $100 \times$ Faktor $4 =$ Faktor $400$
-
-Damit entspricht eine Leistungsverstärkung von $\qty{26}{\dB}$ einem Leistungsverstärkungsfaktor von $400$.
-  
-Die entsprechende Spannungsverstärkung errechnet sich zu:
-
-Faktor $10 \times$ Faktor $2 =$ Faktor $20$
-
-Alternativ: $\sqrt{400}$, wenn man den Leistungsverstärkungsfaktor zugrunde legt.
-</tip>
-
-[question:AD426]
@@ -31,6 +31,18 @@ $p = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P}{\qty{1}{\watt}}\right)\unit{\dBW}$
 $\rightarrow\qty{0}{\dBW}$ liegt bei $P = \qty{1}{\watt}$ vor
 </fragment>

+---
+[question:AD428]
+---
+#### Lösungsweg
+* gegeben: $P_1 = \qty{38}{\watt}$
+* gegeben: $P_2 = \qty{2,5}{\watt}$
+* gesucht: $g$
+
+<fragment>
+$\begin{split} g &= \qty{10\cdot \log_{10}{\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}}{\dB}\\ &= \qty{10\cdot \log_{10}{\left(\frac{\qty{38}{\watt}}{\qty{2,5}{\watt}}\right)}}{\dB} = \qty{11,8}{\dB} \end{split}$
+</fragment>
+
 ---
 [question:AA110]
 <note>
@@ -63,11 +75,32 @@ $\rightarrow\qty{0}{\dBuV}$ liegt bei $U = \qty{1}{\micro\volt}$ vor
 <note>
 Details zur Berechnung des Faktor 20 sind im Online-Kurs. Kurzfassung: Im Spannungsverhältnis wird mit Quadraten gerechnet, was als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden kann.
 </note>
+
 ---
+
+[question:AD427]
+
+---
+
+#### Lösungsweg
+* gegeben: $U_1 = \qty{1}{\milli\volt}$
+* gegeben: $U_2 = \qty{4}{\milli\volt}$
+* gesucht: $g$
+
+<fragment>
+$\begin{split} g &= \qty{20\cdot \log_{10}{\left(\frac{U_2}{U_1}\right)}}{\dB}\\ &= \qty{20\cdot \log_{10}{\left(\frac{\qty{4}{\milli\volt}}{\qty{1}{\milli\volt}}\right)}}{\dB} = \qty{12}{\dB} \end{split}$
+</fragment>
+
+---
+
 [question:AA111]
+
 ---
+
 [question:AA108]
+
 ---
+
 ### Lösungsweg
 * gegeben: $p = \qty{20}{\dBW}$
 * gesucht: $P$
@@ -96,6 +129,21 @@ $\qty{1000}{\milli\watt} \cdot 10 = \qty{10000}{\milli\watt} = \qty{40}{\dBm}$
 Aus der Tabelle in der Formelsammlung
 </note>

+---
+[question:AD426]
+---
+#### Lösungsweg
+* gegeben: $g = \qty{16}{\dB}$
+* gegeben: $P_1 = \qty{1}{\watt}$
+* gesucht: $P_2$
+
+<fragment>
+$g = \qty{16}{\dB} = \qty{10}{\dB} + \qty{6}{\dB} = 10 \cdot 4 = 40$
+</fragment>
+<fragment>
+$P_2 = P_1 \cdot g = \qty{1}{\watt} \cdot 40 = \qty{40}{\watt}$
+</fragment>
+
 ---
 [question:AA112]
 ---
@@ -1,40 +0,0 @@
-* Wird meistens in Dezibel ausgedrückt
-* Leistungs- oder Spannungsverstärkung benötigt unterschiedliche Rechnung
-* Alle Rechnungen lassen sich mit den Formeln zu Leistungs- und Spannungspegel durchführen
-
---
-[question:AD427]
---
-#### Lösungsweg
-* gegeben: $U_1 = \qty{1}{\milli\volt}$
-* gegeben: $U_2 = \qty{4}{\milli\volt}$
-* gesucht: $g$
-
-<fragment>
-$\begin{split} g &= \qty{20\cdot \log_{10}{\left(\frac{U_2}{U_1}\right)}}{\dB}\\ &= \qty{20\cdot \log_{10}{\left(\frac{\qty{4}{\milli\volt}}{\qty{1}{\milli\volt}}\right)}}{\dB} = \qty{12}{\dB} \end{split}$
-</fragment>
---
-[question:AD428]
---
-#### Lösungsweg
-* gegeben: $P_1 = \qty{38}{\watt}$
-* gegeben: $P_2 = \qty{2,5}{\watt}$
-* gesucht: $g$
-
-<fragment>
-$\begin{split} g &= \qty{10\cdot \log_{10}{\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}}{\dB}\\ &= \qty{10\cdot \log_{10}{\left(\frac{\qty{38}{\watt}}{\qty{2,5}{\watt}}\right)}}{\dB} = \qty{11,8}{\dB} \end{split}$
-</fragment>
---
-[question:AD426]
---
-#### Lösungsweg
-* gegeben: $g = \qty{16}{\dB}$
-* gegeben: $P_1 = \qty{1}{\watt}$
-* gesucht: $P_2$
-
-<fragment>
-$g = \qty{16}{\dB} = \qty{10}{\dB} + \qty{6}{\dB} = 10 \cdot 4 = 40$
-</fragment>
-<fragment>
-$P_2 = P_1 \cdot g = \qty{1}{\watt} \cdot 40 = \qty{40}{\watt}$
-</fragment>
@@ -0,0 +1,13 @@
+Gegeben sind die Leistungsverstärkung $g=\qty{16}{\dB}$ und die Eingangsleistung $P_1=\qty{1}{\watt}$. Für das Leistungsverhältnis gilt:
+
+$g=10\cdot\log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)$
+
+Nach der Ausgangsleistung $P_2$ umgestellt:
+
+$P_2=P_1\cdot 10^{\frac{g}{10}}$
+
+Einsetzen der Werte ergibt:
+
+$P_2=\qty{1}{\watt}\cdot 10^{\frac{16}{10}}=\qty{1}{\watt}\cdot 10^{1,6}\approx\qty{39,8}{\watt}$
+
+Die erwartete HF-Ausgangsleistung beträgt somit ungefähr $\qty{40}{\watt}$.
@@ -0,0 +1,11 @@
+Da Eingangs- und Ausgangswiderstand gleich sind, kann die Spannungsverstärkung direkt aus dem Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung berechnet werden:
+
+$g = 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_\mathrm{A}}{U_\mathrm{E}}\right)$
+
+Einsetzen der gegebenen Spannungen:
+
+$g = 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{\qty{4}{\milli\volt}}{\qty{1}{\milli\volt}}\right) = 20 \cdot \log_{10}(4)$
+
+$g \approx 20 \cdot \num{0,602} \approx \qty{12}{\dB}$
+
+Die Spannungsverstärkung des Verstärkers beträgt somit ungefähr $\qty{12}{\dB}$.
@@ -0,0 +1,11 @@
+Gegeben sind die Eingangsleistung $P_1=\qty{2,5}{\watt}$ und die Ausgangsleistung $P_2=\qty{38}{\watt}$. Für die Leistungsverstärkung gilt:
+
+$g=10\cdot\log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)$
+
+Einsetzen der Werte ergibt:
+
+$g=10\cdot\log_{10}\left(\frac{\qty{38}{\watt}}{\qty{2,5}{\watt}}\right)=10\cdot\log_{10}(15,2)$
+
+$g\approx 10\cdot 1,182=\qty{11,8}{\dB}$
+
+Der Leistungsverstärker verstärkt die Eingangsleistung somit um den Faktor $15,2$. Dies entspricht einer Leistungsverstärkung von $\qty{11,8}{\dB}$.
@@ -426,13 +426,6 @@
                    "class": "A",
                    "video_url": null
                },
-                {
-                    "title": "Verstärkungsleistung",
-                    "ident": "verstaerkungsleistung",
-                    "status": "alpha",
-                    "class": "A",
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-                },
                {
                    "title": "Wirkungsgrad",
                    "ident": "verstaerker_wirkungsgrad",
@@ -771,13 +771,6 @@
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-                {
-                    "title": "Verstärkungsleistung",
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                {
                    "title": "Wirkungsgrad",
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@@ -1222,13 +1222,6 @@
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                    "video_url": null
                },
-                {
-                    "title": "Verstärkungsleistung",
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                    "title": "Wirkungsgrad",
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