refactor: fourier

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+Signale können auf unterschiedliche Weise dargestellt werden. Bisher haben wir häufig den *Zeitbereich* betrachtet. Dabei wird dargestellt, wie sich beispielsweise die Spannung eines Signals mit der Zeit verändert. Dasselbe Signal kann jedoch auch im *Frequenzbereich* betrachtet werden. Dabei wird nicht mehr der zeitliche Verlauf dargestellt, sondern aus welchen Frequenzanteilen sich das Signal zusammensetzt und wie stark diese jeweils vertreten sind. Diese Darstellung bezeichnet man auch als *Frequenzspektrum*. Grundlage dafür ist die Tatsache, dass sich periodische Signale als Überlagerung von Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz, Amplitude und Phase beschreiben lassen. Ein reines Sinussignal besteht beispielsweise nur aus einer einzigen Frequenz und erscheint daher im Frequenzspektrum nur bei dieser Frequenz.
 
-% du kennst die zeitdarstellung
-% du kennst die frequenzdarstellung
-% fourier hat sich damit beschaeftigt wie man vom einen zum anderen kommt
-% das zeitliche signal wir analysiert dahingehend wie "stark" welche sinusfrequenz enhalten ist
-% zusammenfassung: jedes signal laesst sich in eine menge von sinusförmigen schwingungen aufteilen
-% phase nicht vergessen
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-Kommen wir nun zu einem spannenden Thema, das komplizierter klingt, als es eigentlich ist. Man kann Signale auf verschiedene Arten und Weisen darstellen. Bekannt sein dürfte die Darstellung eines Signals im Zeitbereich. Hierbei wird auf der X-Achse die Zeit und auf der Y-Achse ein Spannungs- oder Leistungswert dargestellt.
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-Wusstest du, dass sich jedes Signal aus einzelnen Sinus-Schwingungen zusammensetzen lässt? Das klingt verrückt, aber so ist es. Jedes Signal kann durch eine Überlagerung von reinen Sinus-Schwingungen, die eine bestimmte Amplitude und Phase haben, beschrieben werden.
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-Die Fourier-Transformation ist eine mathematisch komplexe Funktion (die wir hier nicht näher erklären wollen), die ein Signal, das im Zeitbereich vorliegt, analysiert und im Anschluss darstellt, aus welchen einzelnen Sinus-Schwingungen sich das Signal aufbaut. Anschließend kann diese Information in einem Diagramm im Frequenzbereich oder auch Frequenzspektrum dargestellt werden. Hierbei beschreibt die X-Achse nun die Frequenz und die Y-Achse den Spannungswert oder auch Leistungswert der enthaltenen Frequenz im Ausgangssignal. Ein reines sinusförmiges Signal einer festen Frequenz stellt somit, im Frequenzspektrum dargestellt, einen Strich bei dessen Frequenz dar.
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-Die Fourier-Transformation (auch diskrete Fourier-Transformation kurz DFT benannt) ist in Ihrer ursprünglichen Form eine mathematisch aufwändige und komplexe Funktion. Diese ist in Software nur sehr ineffizient abzubilden. Über die Zeit hat man eine wesentlich effizientere Methode gefunden, diese mathematisch komplexe Funktion auf einfachere Art und Weise abzubilden - die Fast-Fourier-Transformation oder auch FFT genannt. Hiermit wird deren Berechnung, insbesondere in Soft- und Hardware, wesentlich vereinfacht.
+Die *Fourier-Transformation* ermöglicht den Wechsel zwischen Zeit- und Frequenzbereich. Sie zerlegt ein Signal mathematisch in seine einzelnen Frequenzanteile. Für digital vorliegende, zeitdiskrete Signale wird dazu die *diskrete Fourier-Transformation* (DFT) verwendet. Die direkte Berechnung einer DFT kann bei einer großen Anzahl von Samples sehr aufwändig sein. Mit der *Fast-Fourier-Transformation* (FFT) steht ein wesentlich effizienterer Algorithmus zur Berechnung der DFT zur Verfügung. Deshalb wird die FFT häufig in Software und digitaler Hardware eingesetzt, beispielsweise um das Frequenzspektrum eines Signals zu bestimmen.
 
 <indepth>
-Signalformen, welche nicht sinusförmig sind und insbesondere scharfe "Ecken und Kanten" enthalten, bestehen aus vielen verschiedenen Sinus-Frequenzanteilen und enthalten viele Oberwellenanteile. Mit diesem Applet lässt sich der Sachverhalt jedoch bereits ausprobieren.
+Nicht sinusförmige Signalformen bestehen aus mehreren Frequenzanteilen. Insbesondere scharfe Änderungen und Kanten im zeitlichen Signalverlauf erfordern zusätzliche hochfrequente Anteile. Mit dem folgenden Applet kann untersucht werden, wie sich unterschiedliche Sinusschwingungen überlagern und daraus verschiedene Signalformen entstehen.
 
 [include:fourier]
 </indepth>
 
 [question:AF630]
 
-Wir erinnern uns, dass Signale, die sehr eckig und kantig sind, höhere Frequenzanteile (sog. Oberschwingungen) enthalten. Sieht man sich ein solches Signal, beispielsweise ein rechteckiges Signal, nun im Frequenzbereich an, so fällt auf, dass dieses aus einem starken Sinus-Signal bei dessen Grundschwingung besteht als auch mehreren, immer schwächer werdenden Sinus-Signalen bei ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz. Dies ist im Übrigen auch der Grund, warum man Rechteck-Signale keinesfalls auf eine Antenne geben darf, bevor diese nicht ein Tiefpassfilter durchlaufen haben. Das Tiefpassfilter sorgt in diesem Fall dafür, dass höhere Signalanteile unterdrückt werden und an dessen Ausgang nur noch die Grundschwingung in Form eines Sinus-Signals austritt. Würde man das Rechtecksignal direkt auf die Antenne geben, so wäre eine Aussendung auf allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz zu empfangen und würde sicherlich andere Funkdienste massiv stören.
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-Für einige typische periodische Signalformen lässt sich das Frequenzspektrum besonders einfach beschreiben. Dabei betrachten wir hier die idealisierten, um den Nullpunkt symmetrischen Signalformen ohne Gleichanteil:
+Besonders deutlich wird der Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzbereich bei Signalen mit scharfen Kanten. Ein ideales Rechtecksignal lässt sich beispielsweise aus einer Grundschwingung und mehreren Oberschwingungen zusammensetzen. Neben der Grundfrequenz treten dabei die ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz auf. Ihre Amplituden werden mit zunehmender Frequenz kleiner.
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+Diese Oberwellen sind auch bei Sendern von Bedeutung. Würde beispielsweise ein ideales Rechtecksignal unmittelbar auf eine Antenne gegeben, würden neben der gewünschten Grundfrequenz auch dessen Oberwellen abgestrahlt. Ein Tiefpassfilter kann die unerwünschten höheren Frequenzanteile unterdrücken, sodass hauptsächlich die gewünschte Grundschwingung zur Antenne gelangt.
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+Für einige typische periodische Signalformen lässt sich das Frequenzspektrum besonders einfach beschreiben. Dabei betrachten wir idealisierte Signalformen ohne Gleichanteil:
 
 * Ein *Sinussignal* besteht nur aus einer einzigen Frequenz. Im Frequenzspektrum erscheint daher nur die Grundfrequenz $f$.
-* Ein *Rechtecksignal* besteht aus der Grundfrequenz und den *ungeradzahligen Vielfachen* der Grundfrequenz. Es enthält also die Frequenzen $f$, $3\cdot f$, $5\cdot f$, $7\cdot f$, usw. Die Amplituden der Oberwellen werden dabei mit zunehmender Frequenz kleiner.
-* Ein *Sägezahnsignal* enthält sowohl die geradzahligen als auch die ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz. Es enthält also $f$, $2\cdot f$, $3\cdot f$, $4\cdot f$, $5\cdot f$, usw. Auch hier werden die Amplituden mit zunehmender Frequenz kleiner.
-* Ein *Dreiecksignal* enthält wie das Rechtecksignal nur die ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz, also $f$, $3\cdot f$, $5\cdot f$, $7\cdot f$, usw. Die Amplituden der Oberwellen nehmen jedoch wesentlich schneller ab als beim Rechtecksignal.
+* Ein *Rechtecksignal* besteht aus der Grundfrequenz und den *ungeradzahligen Vielfachen* der Grundfrequenz. Es enthält also die Frequenzen $f$, $3\cdot f$, $5\cdot f$, $7\cdot f$ usw. Die Amplituden der Oberwellen werden mit zunehmender Frequenz kleiner.
+* Ein *Sägezahnsignal* enthält sowohl die geradzahligen als auch die ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz. Es enthält also $f$, $2\cdot f$, $3\cdot f$, $4\cdot f$, $5\cdot f$ usw. Auch hier werden die Amplituden mit zunehmender Frequenz kleiner.
+* Ein *Dreiecksignal* enthält wie das Rechtecksignal nur die ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz, also $f$, $3\cdot f$, $5\cdot f$, $7\cdot f$ usw. Die Amplituden der höheren Frequenzanteile nehmen jedoch wesentlich schneller ab als beim Rechtecksignal.
 
 Damit lassen sich die Signalformen auch anhand ihres Frequenzspektrums unterscheiden. Ein einzelner Spektralanteil weist auf einen Sinus hin. Treten ungeradzahlige Vielfache auf, ist es in der Prüfung immer ein Rechtecksignal.
 
 [question:AB404]
 [question:AB405]
 [question:AB406]
-[question:AB407]
+[question:AB407]