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@@ -58,32 +58,52 @@ $f_g = \frac{1}{2\pi R C}$
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[question:AD202]
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[question:AD203]
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**Resonanzfrequenz**
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Schaltet man eine Spule und einen Kondensator entweder seriell oder parallel, entsteht ein Schwingkreis. Wir erinnern uns: Bei hohen Frequenzen hat die Spule einen hohen Widerstand. Beim Kondensator verhält es sich genau umgekehrt, so dass eine niedrige Frequenz zu einem hohen Kondensatorwiderstand führt. Bei der Frequenz, bei der Spule und Kondensator den gleichen Widerstand haben, handelt es sich um die Resonanzfrequenz - unabhängig davon, ob es sich um einen Serien- oder Parallelschwingkreis handelt.
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[question:AD206]
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Je nachdem, ob die Schaltung nun als Serien- oder Parallelschwingkreis ausgeführt wird, ändert sich aber nun das Filterverhalten bei der Resonanzfrequenz.
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Bei einem **Parallelschwingkreis** lässt sich durch die Eigenresonanz im Schwingkreis nur wenig Energie zuführen - und zwar nur soweit, wie es im Schwingkreis Verluste gibt (z.B. durch den Drahtwiderstand der Spule). Lässt man die Verluste jedoch außer Acht, findet im Schwingkreis eine kontinuierliche Umladung zwischen größtmöglichem elektrischen Feld im Kondensator und dem größtmöglichen magnetischen Feld in der Spule statt. Theoretisch ist im verlustfreien Schwingkreis im Resonanzfall die Impedanz also unendlich groß.
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Abseits dieser Resonanzfrequenz bestimmt das Bauteil mit dem geringeren Widerstand den gesamten Widerstand (Impedanz) des Schwingkreises, da beide Bauteile parallel liegen. So ist bei hohen Frequenzen der Kondensator niederohmiger als die Spule. Bei niedrigen Frequenzen ist die Spule niederohmiger als der Kondensator. Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz hat ein Parallelschwingkreis also einen geringeren Widerstand (Impedanz).
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Bei einem **Serienschwingkreis** handelt es sich um einen geöffneten Schwingkreis, bei dem die Energie zur Umladung zwischen Kondensator und Spule immer durch Ein- und Ausgang hindurchmuss. Bei der Resonanzfrequenz schwingt der Serienschwingkreis also immer "durch" den Frequenzerzeuger und eine evtl. anhängende Last. Der Widerstand (Impedanz) ist bei der Resonanzfrequenz also sehr gering. Theoretisch und ohne Berücksichtigung von Verlusten z.B. durch den Drahtwiderstand der Spule liegt dieser sogar bei $\qty{0}{\ohm}$. Das liegt unter anderem auch daran, dass sich durch die Phasenlagen zwischen Spule und Kondensator die Spannungen über die einzelnen Komponenten gegenseitig aufheben.
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Da Spule und Kondensator in Reihe liegen, bestimmt in diesem Fall das Bauteil mit dem höchsten Widerstand den Gesamtwiderstand der Schaltung. Bei hoher Frequenz hat die Spule einen hohen Widerstand. Bei niedriger Frequenz hat der Kondensator einen hohen Widerstand. Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz haben wir beim Serienschwingkreis daher jeweils einen hohen Gesamtwiderstand (Impedanz).
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Der Betragsfrequenzgang eines Serienschwingkreises aus einem Widerstand, einer Spule und einem Kondensator, wie in Abbildung [ref:a_serienschwingkreis] dargestellt, berechnet sich nach folgender Formel:
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$Z = \sqrt{R^2+\left(X_\text{L} - X_\text{C}\right)^2}$
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<margin>
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[picture:181:a_serienschwingkreis:Serienschwingkreis]
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</margin>
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Wenn der Blindwiderstand der Spule genau so groß ist wie der Blindwiderstand des Kondensators, also $X_\text{L} = X_\text{C}$, dann ergibt sich für die Impedanz:
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$Z=\sqrt{R^2+\left(0\right)^2}=\sqrt{R^2}=R$
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In diesem Fall handelt es sich um die sogenannte *Resonanzfrequenz* $f_0$ des Schwingkreises, bei der die Impedanz nur noch durch den ohmschen Widerstand bestimmt wird. Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz ist die Impedanz größer als der ohmsche Widerstand, da entweder die Spule oder der Kondensator einen höheren Blindwiderstand hat. Abbildung [ref:a_serienschwingkreis_frequenzgang] zeigt den Betragsfrequenzgang eines Serienschwingkreises, bei dem die Resonanzfrequenz deutlich zu erkennen ist. Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz haben wir beim Serienschwingkreis daher jeweils einen hohen Gesamtwiderstand (Impedanz). Bei hoher Frequenz hat die Spule einen hohen Widerstand. Bei niedriger Frequenz hat der Kondensator einen hohen Widerstand.
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<margin>
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[picture:1037:a_serienschwingkreis_frequenzgang:Betragsfrequenzgang eines Serienschwingkreises]
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</margin>
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[question:AD206]
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[question:AD207]
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[question:AD204]
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Bei Parallel- und Serienschwingkreisen gilt im Resonanzfall folgender Zusammenhang:
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Bei Parallel- und Serienschwingkreisen gilt im Resonanzfall, wie oben gezeigt, also folgender Zusammenhang:
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$X_\text{C} = X_\text{L}$
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Dies bedeutet, dass im Resonanzfall die Widerstände (Impedanzen) beider Bauteile (Spule und Kondensator) genau gleich groß sind. Ohmsche Widerstände und Verluste haben keinen Einfluss auf die Resonanzfrequenz und können daher bei der Berechnung der Resonanzfrequenz von Schwingkreisen vernachlässigt werden.
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Wenn wir nun die Formeln für die Blindwiderstände von Spule und Kondensator in die obige Gleichung einsetzen, erhalten wir:
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<tip>
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$2\pi f \cdot L = \frac{1}{2\pi f \cdot C}$
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So ergibt sich die Formel:
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$f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{L\cdot C}}$
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Diese Formel heißt Thomsonsche Schwingungsformel und gilt sowohl für Parallel- als auch für Serienschwingkreise. In der Formelsammlung finden wir sie beim Thema "Schwingkreise". Sie besagt, dass die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises nur von der Induktivität der Spule und der Kapazität des Kondensators abhängt. Ohmsche Widerstände und Verluste haben keinen Einfluss auf die Resonanzfrequenz. Mit der Formel können wir die Resonanzfrequenz von Schwingkreisen berechnen.
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<indepth>
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Ohmsche Widerstände in Parallel- und Serienschwingkreisen wirken sich jedoch auf die Güte ($Q$) und damit auf die Bandbreite ($B$) des Schwingkreises aus - hierauf werden wir später noch genauer eingehen.
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</tip>
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Um die Resonanzfrequenz von Parallel- und Serienschwingkreisen zu berechnen, verwenden wir die sog. Thomsonsche Schwingkreisformel (die jeder Funkamateur auswendig kennen muss):
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$f = \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$
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[question:AD208]
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[question:AD209]
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@@ -91,7 +111,7 @@ $f = \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$
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Die Resonanzfrequenz von Parallelschwingkreisen wird genau wie bei Serienschwingkreisen mit der zuvor genannten Thomsonschen Schwingkreisformel berechnet. Auch hier hat ein parallel geschalteter Widerstand keinen Einfluss auf die Resonanzfrequenz, jedoch auf die Güte (Q) und Bandbreite (B).
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Die Resonanzfrequenz von Parallelschwingkreisen wird genau wie bei Serienschwingkreisen mit der zuvor genannten Thomsonschen Schwingungsformel berechnet.
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[question:AD211]
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[question:AD212]
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@@ -99,11 +119,16 @@ Die Resonanzfrequenz von Parallelschwingkreisen wird genau wie bei Serienschwing
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Um die Resonanzfrequenz von Schwingkreisen zu verändern, kann entweder die Induktivität der Spule oder die Kapazität des Kondensators im Schwingkreis verändert werden.
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Wie aus der Thomsonschen Schwingkreisformel ersichtlich befinden sich die Größen $L$ und $C$ jeweils unter dem Bruchstrich. Hierdurch bewirkt eine Vergrößerung von $L$ oder $C$ eine Verringerung der Schwingkreisfrequenz, da der Nenner der Formel größer wird. Die Quadratwurzel hat auf diesen Zusammenhang keinen Einfluss, da die Wurzel aus einer größeren Zahl ebenfalls eine größere Zahl ist. Der Zusammenhang hierbei ist jedoch nicht linear.
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Bei einer Verkleinerung von $L$ und $C$ gilt umgekehrt, dass die Resonanzfrequenz des Schwingkreises sich vergrößert.
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Wie aus der Thomsonschen Schwingkreisformel ersichtlich befinden sich die Größen $L$ und $C$ jeweils unter dem Bruchstrich. Hierdurch bewirkt eine Vergrößerung von $L$ oder $C$ eine Verringerung der Schwingkreisfrequenz, da der Nenner der Formel größer wird. Bei einer Verkleinerung von $L$ und $C$ gilt umgekehrt, dass die Resonanzfrequenz des Schwingkreises sich vergrößert.
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<indepth>
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Die Quadratwurzel hat auf diesen Zusammenhang keinen Einfluss, da die Wurzel aus einer größeren Zahl ebenfalls eine größere Zahl ist. Der Zusammenhang hierbei ist jedoch nicht linear.
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</indepth>
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Die Induktivität einer Spule kann durch Vergrößern der Windungszahl, durch Zusammenschieben oder Einführen eines Ferritkerns vergrößert werden.
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Umgekehrt kann die Induktivität einer Spule verringert werden durch Verringerung der Windungszahl, durch Auseinanderziehen oder durch Entfernen eines Ferritkerns oder durch Einführen eines Kupferkerns.
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Die Kapazität von Kondensatoren kann durch Austausch oder die Verwendung von Trimm- oder Drehkondensatoren beeinflusst werden.
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Umgekehrt kann die Induktivität einer Spule verringert werden durch Verringerung der Windungszahl, durch Auseinanderziehen oder durch Entfernen eines Ferritkerns oder durch Einführen eines Kupferkerns. Die Kapazität von Kondensatoren kann durch Austausch oder die Verwendung von Trimm- oder Drehkondensatoren beeinflusst werden.
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Mit diesem Wissen können wir nun die folgenden Fragen beantworten.
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[question:AD213]
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[question:AD214]
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@@ -111,44 +136,57 @@ Die Kapazität von Kondensatoren kann durch Austausch oder die Verwendung von Tr
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[question:AD216]
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[question:AD217]
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Oft ist es in Schaltungen erforderlich, die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises durch eine Steuerspannung zu beeinflussen (z.B. bei einem VCO - Voltage Controlled Oscillator). Hierfür kann man z.B. eine Kapazitätsdiode verwenden, die in Sperrrichtung betrieben wird. Je höher die Gegenspannung der Diode wird, desto geringer wird deren Kapazität, welche durch die Größe der Grenzschicht (P-N-Übergang) bestimmt wird. Die Grenzschicht vergrößert sich bei Vergrößerung der angelegten Sperrspannung, wodurch sich die Kapazität verringert und damit die Frequenz des Schwingkreises gemäß Thomsonscher Schwingkreisformel steigt.
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Umgekehrt verkleinert sich die Grenzschicht der Kapazitätsdiode bei Verringerung der angelegten Sperrspannung, wodurch sich die Kapazität erhöht und damit die Frequenz des Schwingkreises kleiner wird.
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Die Sperrspannung kann z.B. durch ein Potentiometer oder einen Steuerkreis erzeugt werden.
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%TODO: Evtl. Grafik zu Sperrschicht und Verhalten in Kapazitätsdiode.
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[question:AD218]
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Eine Kombination aus Parallel- und Serienschwingkreisen kann bei geeigneter Anordnung als Bandpassfilter verwendet werden. Im Resonanzfall verhalten sich die parallelen Schwingkreise wie hochohmige Widerstände und der Serienschwingkreis wie ein niederohmiger Widerstand.
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[question:AD205]
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Die Bandbreiten von Filtern und Bandpässen werden in dB bezogen auf einen Referenzwert des Filters angegeben. Hierbei kann die Bandbreite bei einer vorgegebenen Dämpfung oder in Bezug auf die minimale Dämpfung der Durchlasskurve des Filters gemessen werden.
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Üblicherweise wird die *Bandbreite* eines Filters als der sog. *$\qty{-3}{\dB}$-Wert* angegeben, bei dem nur noch die halbe Leistung eines Signals das Filter passieren kann; dies entspricht dem *$0,7$-fachen der Signalspannung*.
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Die Bandbreite wird als die *Differenz zwischen dem oberen und unteren $\qty{-3}{\dB}$-Wert* gemessen.
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So wird z.B. die $\qty{-3}{\dB}$-Dämpfung bezogen auf die minimale Dämpfung der Filterkurve verwendet, um die Eignung eines Filters für bestimmte Betriebsarten (SSB, CW, RTTY) anzugeben.
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Ein schmalbandiges Filter (mit einer $\qty{-3}{\dB}$-Bandbreite von $\qty{500}{\hertz}$) wird beispielsweise für Telegrafie (CW) verwendet.
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Ein breitbandiges Filter mit (mit einer $\qty{-3}{\dB}$-Bandbreite von $\qty{2,7}{\kilo\hertz}$) wird beispielsweise für Sprachmodulation (SSB) verwendet.
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Für Filter mit hoher Güte werden hierfür in der Regel Quarzfilter eingesetzt.
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Die Bandbreite von Filtern und Bandpässen wird häufig in Bezug auf einen bestimmten Dämpfungswert angegeben. Dabei beschreibt die Dämpfung, wie stark ein Signal gegenüber dem maximalen Durchlass abgeschwächt wird.
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Üblicherweise wird die *Bandbreite* eines Filters über den sogenannten $\qty{-3}{\dB}$-Punkt definiert.
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Am $\qty{-3}{\dB}$-Punkt gilt:
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- Nur noch die halbe Leistung passiert das Filter
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- Die Signalspannung beträgt noch etwa das $0{,}7$-fache des Maximalwertes
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Die Bandbreite ergibt sich aus der Differenz zwischen oberer und unterer Grenzfrequenz bei $\qty{-3}{\dB}$:
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$ B = f_\mathrm{o} - f_\mathrm{u} $
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[question:AD219]
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[question:AD221]
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[question:AD222]
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[question:AD220]
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Die Güte eines Schwingkreises (Q-Faktor) wird durch das Verhältnis der Blindwiderstände von Kapazität und Induktivität im Resonanzfall zum ohmschen Verlustwiderstand bestimmt. Wenn ein Schwingkreis keinerlei ohmschen Verlustwiderstände enthalten würde, so wäre dessen Q-Faktor unendlich. Reale Bauteile sind jedoch immer verlustbehaftet. Induktivitäten haben immer einen ohmschen Verlustwiderstand, Kapazitäten haben dielektrische Verluste, die sich ebenfalls als ohmscher Widerstand auswirken.
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Je größer die ohmschen Widerstände in einem Schwingkreis sind, desto geringer wird dessen Q-Faktor.
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Dabei sind:
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- $f_\mathrm{o}$: obere Grenzfrequenz
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- $f_\mathrm{u}$: untere Grenzfrequenz
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Die $\qty{-3}{\dB}$-Bandbreite wird verwendet, um die Eignung eines Filters für bestimmte Betriebsarten zu beschreiben:
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- Schmalbandiges Filter mit etwa $\qty{500}{\hertz}$ Bandbreite: geeignet für CW (Telegrafie)
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- Breitbandigeres Filter mit etwa $\qty{2,7}{\kilo\hertz}$ Bandbreite: geeignet für SSB-Sprachübertragung
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[question:AD221]
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[question:AD222]
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Bei der folgenden Frage muss nicht der $\qty{-3}{\dB}$-Punkt, sondern die Bandbreite am $\qty{-60}{\dB}$-Punkt abgelesen werden.
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[question:AD219]
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Die Güte eines Schwingkreises (im Englischen Q-Faktor) wird durch das Verhältnis der Blindwiderstände von Kapazität und Induktivität im Resonanzfall zum ohmschen Verlustwiderstand bestimmt. Wenn ein Schwingkreis keinerlei ohmschen Verlustwiderstände enthalten würde, so wäre dessen Q-Faktor unendlich. Reale Bauteile sind jedoch immer verlustbehaftet. Induktivitäten haben immer einen ohmschen Verlustwiderstand, Kapazitäten haben dielektrische Verluste, die sich ebenfalls als ohmscher Widerstand auswirken. Je größer die ohmschen Widerstände in einem Schwingkreis sind, desto geringer wird dessen Q-Faktor. Für Filter mit hoher Güte und steilen Flanken werden häufig Quarzfilter eingesetzt.
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Für die Berechnung des Q-Faktors verwenden wir die entsprechenden Formeln aus der Formelsammlung je nachdem ob es sich um einen Parallel- oder Serienschwingkreis handelt:
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Für den Serienschwingkreis gilt im Resonanzfall ($X_\text{L} = X_\text{C}$):
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$Q = \frac{f_0}{B} = \frac{X_\text{L}}{R_\text{S}}$
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Für den Parallelschwingkreis gilt im Resonanzfall ($X_\text{L} = X_\text{C}$):
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$Q = \frac{f_0}{B} = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}}$
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[question:AD225]
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Entsprechend dem obigen Rechenbeispiel können wir jetzt auch den Gütefaktor des Parallelschwingkreises errechnen. Die Resonanzfrequenz wird wie im vorigen Beispiel berechnet. Es ist jedoch zu beachten, dass für die Berechnung von $Q$ die Formel für den Parallelschwingkreis zu verwenden ist:
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@@ -169,14 +207,28 @@ Die vorgenannte Formel gilt sowohl für den Serien- als auch den Parallelschwing
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[question:AD224]
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Entsprechend kann nun auch mit dem zuvor beschriebenen Wissen die folgende Frage schrittweise berechnet werden.
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[question:AD223]
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Zur Übertragung von Signalen zwischen Schaltungsstufen sowie in Filtern in Sendern und Empfängern werden häufig gekoppelte Schwingkreise verwendet. Hierbei werden zwei Schwingkreise induktiv oder kapazitiv aneinander gekoppelt. Diese Kopplung kann je nach Anwendung *lose*, *unterkritisch*, *kritisch* oder *überkritisch* erfolgen. Der Grad der Kopplung bestimmt die gegenseitige Beeinflussung und damit die Bandbreite und Durchlasskurve der gesamten Anordnung.
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Zur Übertragung von Signalen zwischen Schaltungsstufen sowie in Filtern in Sendern und Empfängern werden häufig gekoppelte Schwingkreise verwendet. Hierbei werden zwei Schwingkreise induktiv oder kapazitiv aneinander gekoppelt. Die Abbildung [ref:a_gekoppelte_schwingkreise] zeigt eine induktive Kopplung. Diese Kopplung kann je nach Anwendung
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- *lose* (d),
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- *unterkritisch* (c),
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- *kritisch* (b) oder
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- *überkritisch* (a)
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erfolgen. Der Grad der Kopplung bestimmt die gegenseitige Beeinflussung und damit die Bandbreite und Durchlasskurve der gesamten Anordnung.
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<margin>
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[picture:184:a_gekoppelte_schwingkreise:Kopplung von Schwingkreisen]
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</margin>
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Bei loser und unterkritischer Kopplung gibt es kaum eine gegenseitige Beeinflussung; Dafür ist die Durchlassdämpfung der Anordnung relativ hoch und die Bandbreite relativ gering.
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Bei kritischer Kopplung beeinflussen sich beide Schwingkreise gerade so, dass eine im Durchlassbereich flache Durchlasskurve mit geringer Dämpfung entsteht und diese im gewünschten Durchlassbereich völlig eben ist (Plateau). Die Bandbreite der Anordnung ist hierbei größer als bei loser und unterkritischer Kopplung. Hieran ist eine kritische Kopplung auch gut zu erkennen.
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Bei überkritischer Kopplung ist die gegenseitige Beeinflussung der beiden Schwingkreise sehr stark, was zu einer starken Änderung beider Resonanzfrequenzen und damit zu einer großen Bandbreite führt. Hierdurch wird die Durchlasskurve im Durchlassbereich stark verzerrt und es bilden sich links und rechts der Mittenfrequenz zwei Resonanzpunkte. Die Durchlasskurve bekommt eine "Delle". Hieran ist die überkritische Kopplung gut zu erkennen.
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[question:AD227]
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Matthias Jung
