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Antennenlänge und Verkürzungsfaktor

• Antennenlänge hängt vom Verkürzungsfaktor ab
• Halbwellendipol: Hälfte der Wellenlänge \times Verkürzungsfaktor
• Viertelwellenstrahler: Viertel der Wellenlänge \times Verkürzungsfaktor
• Typischer Wert: \num{0,95}

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[question:AG101]

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Lösungsweg

* gegeben: $f = \qty{14,2}{\mega\hertz}$ * gegeben: $k_v = 0,95$ * gegeben: $\frac{\lambda}{2}$-Dipol * gesucht: $l_G$ $\begin{split}l_E &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda}{2}\\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{14,2}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \qty{21,13}{\meter}\\ &\approx \qty{5,28}{\meter}\end{split}$ $\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,95 \cdot \qty{5,28}{\meter}\\ &\approx \qty{5,02}{\meter}\end{split}$

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[question:AG102]

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Lösungsweg

* gegeben: $f = \qty{7,1}{\mega\hertz}$ * gegeben: $k_v = 0,95$ * gegeben: $\frac{\lambda}{2}$-Dipol * gesucht: $l_G$ $\begin{split}l_E &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda}{2}\\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{7,1}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \qty{42,25}{\meter}\\ &\approx \qty{10,56}{\meter}\end{split}$ $\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,95 \cdot \qty{10,56}{\meter}\\ &\approx \qty{10,04}{\meter}\end{split}$

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[question:AG103]

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Lösungsweg

* gegeben: $l_G = \qty{20}{\meter}$ * gegeben: $k_v = 0,95$ * gegeben: Dipol * gesucht: $f$ $\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_E &= \frac{l_G}{k_v}\\ &= \frac{\qty{20}{\meter}}{0,95}\\ &\approx \qty{21,05}{\meter}\end{split}$ $\begin{split}l_E &= \frac{\lambda}{2}\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{f}\\ \Rightarrow f &= \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{l_E}\\ &\approx \frac{1}{2} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{21,05}{\meter}}\\&\approx \qty{7,125}{\mega\hertz}\end{split}$

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[question:AG104]

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Lösungsweg

* gegeben: $f = \qty{7,1}{\mega\hertz}$ * gegeben: $k_v = 0,95$ * gegeben: $\frac{\lambda}{4}$-Groundplane * gesucht: $l_G$ $\begin{split}l_E &= \frac{\lambda}{4}\\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{7,1}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \qty{42,25}{\meter}\\ &\approx \qty{10,56}{\meter}\end{split}$ $\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,95 \cdot \qty{10,56}{\meter}\\ &\approx \qty{10,04}{\meter}\end{split}$

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[question:AG105]

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Lösungsweg

* gegeben: $f = \qty{14,2}{\mega\hertz}$ * gegeben: $k_v = 0,97$ * gegeben: $\frac{5}{8}\lambda$-Vertikalantenne * gesucht: $l_G$ $\begin{split}l_E &= \frac{5}{8}\lambda\\ &= \frac{5}{8} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{5}{8} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{14,2}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{5}{8} \cdot \qty{21,13}{\meter}\\ &\approx \qty{13,20}{\meter}\end{split}$ $\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,97 \cdot \qty{13,20}{\meter}\\ &\approx \qty{12,80}{\meter}\end{split}$

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Ursache des Verkürzungsfaktors

• Leiter sind nicht unendlich dünn
• Zusätzliche Kapazität zwischen Leiter und Umgebung
• Beeinflusst die effektive elektrische Länge der Antenne

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[question:AG202]

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Verlängerungsfaktor bei Schleifenantennen

• Unterschied zum Verkürzungsfaktor
• Führt zu einer scheinbaren Verlängerung der Antenne

Ein Verlängerungsfaktor bedeutet nicht, dass sich die Welle mit *Überlichtgeschwindigkeit* ausbreitet. Es handelt sich um die Phasengeschwindigkeit, nicht um die Gruppengeschwindigkeit.

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[question:AG118]

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Lösungsweg

* gegeben: $f = \qty{7,1}{\mega\hertz}$ * gegeben: $k_v = 1,02$ * gegeben: Delta-Loop * gesucht: $l_G$ $\begin{split}l_E &= \lambda\\ &= \frac{c}{f}\\ &= \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{7,1}{\mega\hertz}}\\ &\approx \qty{42,23}{\meter}\end{split}$ $\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 1,02 \cdot \qty{42,23}{\meter}\\ &\approx \qty{43,10}{\meter}\end{split}$

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Verkürzungsfaktor bei Paralleldrahtleitungen

• Welle befindet sich zwischen den Leitern
• Skineffekt verhindert tiefes Eindringen ins Metall
• Verkürzungsfaktor annähernd 1 (wie Freiraumausbreitung)

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[question:AG313]

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Verkürzungsfaktor bei Koaxialkabeln

• Welle befindet sich im Dielektrikum zwischen den Leitern
• Beispiel für Polyäthylen: \epsilon_\mathrm{r} = 2,29
• Skineffekt verhindert tiefes Eindringen ins Metall
• Geometrie des Kabels hat kaum Einfluss
• Berechnung des Verkürzungsfaktors:

$v_\mathrm{k} = \dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_\mathrm{r}}}$

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[question:AG315]

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[question:AG316]

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Lösungsweg

• gegeben: f = \qty{145}{\mega\hertz}
• gegeben: k_v = 0,66
• gesucht: l_G

$\begin{split}l_E &= \lambda\\ &= \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{145}{\mega\hertz}}\\ &\approx \qty{2,07}{\meter}\end{split}$ $\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,66 \cdot \qty{2,07}{\meter}\\ &\approx \qty{1,37}{\meter}\end{split}$