50ohm-contents-dl/contents/sections/svangningskrets_2.md

I formelsamlingen hittar vi följande formel för beräkning av gränsfrekvensen för RC-filter, till exempel högpass- eller lågpassfilter:

f_g = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C}

Med den här formeln kan vi lösa en rad beräkningsuppgifter.

För den matematiskt intresserade: Formeln för gränsfrekvensen hos ett RC-filter kan också härledas genom att betrakta motståndets och kondensatorns komplexa impedanser. Vi betraktar RC-lågpassfiltret som en frekvensberoende spänningsdelare.

[picture:175:a_rc_tiepass:RC-lågpassfilter som frekvensberoende spänningsdelare]

För förhållandet mellan utgångs- och ingångsspänning gäller:

\frac{|U_A|}{|U_E|} = \frac{|X_C|}{|R + X_C|}

Kondensatorns kapacitiva reaktans är:

X_C = \frac{1}{j\omega C}

Då får vi:

\frac{|U_A|}{|U_E|} = \frac{\left|\frac{1}{j\omega C}\right|}{\left|R + \frac{1}{j\omega C}\right|}

För beloppen får vi:

\frac{|U_A|}{|U_E|} = \frac{\frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^2 + \frac{1}{\omega^2 C^2}}}

Multiplicerar man täljare och nämnare med \omega C förenklas uttrycket till:

\frac{|U_A|}{|U_E|} = \frac{1}{\sqrt{1 + R^2\omega^2 C^2}}

Gränsfrekvensen är definierad så att utgångsspänningen har sjunkit till faktorn \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 av det ursprungliga värdet. Det motsvarar ungefär \qty{70}{\percent} av utgångsspänningen, eller en nivåminskning på \qty{3}{\dB}.

\frac{|U_A|}{|U_E|} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Av detta följer:

\frac{1}{\sqrt{1 + R^2\omega^2 C^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Det måste alltså gälla att:

R^2\omega^2 C^2 = 1

och därmed:

\omega R C = 1

Med \omega = 2\pi f får vi:

2\pi f_g R C = 1

Av detta följer för gränsfrekvensen:

f_g = \frac{1}{2\pi R C}

---

Impedansens belopp som funktion av frekvensen för en serieresonanskrets av ett motstånd, en spole och en kondensator, som i figur [ref:a_serienschwingkreis], beräknas med följande formel:

Z = \sqrt{R^2+\left(X_\text{L} - X_\text{C}\right)^2}

[picture:181:a_serienschwingkreis:Serieresonanskrets]

---

Om spolens reaktans är exakt lika stor som kondensatorns reaktans, alltså X_\text{L} = X_\text{C}, får vi för impedansen:

Z=\sqrt{R^2+\left(0\right)^2}=\sqrt{R^2}=R

Detta är den så kallade resonansfrekvensen f_0 för svängningskretsen, där impedansen bara bestäms av det ohmska motståndet. Vid frekvenser över och under resonansfrekvensen är impedansen större än det ohmska motståndet, eftersom antingen spolen eller kondensatorn har en högre reaktans. Figur [ref:a_serienschwingkreis_frequenzgang] visar impedansens belopp för en serieresonanskrets, där resonansfrekvensen syns tydligt. Vid frekvenser över och under resonansfrekvensen har serieresonanskretsen därför en hög total impedans. Vid hög frekvens har spolen hög reaktans. Vid låg frekvens har kondensatorn hög reaktans.

[picture:1037:a_serienschwingkreis_frequenzgang:Impedansens belopp som funktion av frekvensen för en serieresonanskrets]

För parallell- och serieresonanskretsar gäller vid resonans, som visats ovan, följande samband:

X_\text{C} = X_\text{L}

Sätter vi nu in formlerna för spolens och kondensatorns reaktanser i ekvationen ovan får vi:

2\pi f \cdot L = \frac{1}{2\pi f \cdot C}

Då får vi formeln:

f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{L\cdot C}}

---

Den här formeln kallas Thomsons svängningsformel och gäller både för parallell- och serieresonanskretsar. I formelsamlingen hittar vi den under rubriken ”Svängningskretsar”. Den säger att en svängningskrets resonansfrekvens bara beror på spolens induktans och kondensatorns kapacitans. Ohmska motstånd och förluster påverkar inte resonansfrekvensen. Med formeln kan vi beräkna svängningskretsars resonansfrekvens.

Ohmska motstånd i parallell- och serieresonanskretsar påverkar dock kretsens Q-värde ($Q$) och därmed dess bandbredd ($B$) – det går vi in på närmare senare.

---

Resonansfrekvensen för parallellresonanskretsar beräknas precis som för serieresonanskretsar med den ovan nämnda Thomsons svängningsformel.

---

För att ändra en svängningskrets resonansfrekvens kan man antingen ändra spolens induktans eller kondensatorns kapacitans i kretsen. Som framgår av Thomsons svängningsformel står L och C under bråkstrecket. En ökning av L eller C ger därför lägre resonansfrekvens, eftersom nämnaren blir större. Minskar man L och C gäller omvänt att kretsens resonansfrekvens ökar.

Kvadratroten påverkar inte detta samband, eftersom roten ur ett större tal också är ett större tal. Sambandet är dock inte linjärt.

Induktansen hos en spole kan ökas genom att öka antalet varv, genom att trycka ihop spolen eller genom att föra in en ferritkärna. Omvänt kan en spoles induktans minskas genom att minska antalet varv, genom att dra isär spolen, genom att ta bort en ferritkärna eller genom att föra in en kopparkärna. En kondensators kapacitans kan ändras genom byte eller genom att använda trimkondensatorer eller vridkondensatorer.

Med denna kunskap kan vi nu förstå hur resonansfrekvensen kan justeras i praktiken.

En kombination av parallell- och serieresonanskretsar kan vid lämplig placering användas som bandpassfilter. Vid resonans beter sig de parallella svängningskretsarna som högohmiga motstånd och serieresonanskretsen som ett lågohmigt motstånd.

Bandbredden hos filter och bandpassfilter anges ofta i förhållande till ett visst dämpningsvärde. Dämpningen beskriver hur kraftigt en signal försvagas jämfört med den maximala genomsläppligheten.

Vanligen definieras ett filters bandbredd via den så kallade $\qty{-3}{\dB}$-punkten.

Vid $\qty{-3}{\dB}$-punkten gäller:

• Bara halva effekten passerar filtret
• Signalspänningen är fortfarande ungefär 0{,}7 gånger maxvärdet

Bandbredden är skillnaden mellan övre och undre gränsfrekvens vid \qty{-3}{\dB}:

B = f_\mathrm{o} - f_\mathrm{u}

Där är:

• f_\mathrm{o}: övre gränsfrekvens
• f_\mathrm{u}: undre gränsfrekvens

$\qty{-3}{\dB}$-bandbredden används för att beskriva ett filters lämplighet för olika trafiksätt:

• Smalbandigt filter med cirka \qty{500}{\hertz} bandbredd: lämpligt för CW (telegrafi)
• Bredare filter med cirka \qty{2,7}{\kilo\hertz} bandbredd: lämpligt för SSB-tal

Ibland ska man i stället läsa av bandbredden vid $\qty{-60}{\dB}$-punkten och inte vid $\qty{-3}{\dB}$-punkten.

En svängningskrets Q-värde (kvalitetsfaktor, på engelska Q factor) bestäms av förhållandet mellan kapacitansens och induktansens reaktanser vid resonans och det ohmska förlustmotståndet. Om en svängningskrets inte innehöll några ohmska förluster alls skulle dess Q-värde vara oändligt. Verkliga komponenter har dock alltid förluster. Induktanser har alltid ett ohmskt förlustmotstånd, kapacitanser har dielektriska förluster som också verkar som ett ohmskt motstånd. Ju större de ohmska motstånden i en svängningskrets är, desto lägre blir dess Q-värde. För filter med högt Q-värde och branta flanker används ofta kristallfilter.

För att beräkna Q-värdet använder vi motsvarande formler ur formelsamlingen, beroende på om det är en parallell- eller serieresonanskrets:

För serieresonanskretsen gäller vid resonans (X_\text{L} = X_\text{C}):

Q = \frac{f_0}{B} = \frac{X_\text{L}}{R_\text{S}}

För parallellresonanskretsen gäller vid resonans (X_\text{L} = X_\text{C}):

Q = \frac{f_0}{B} = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}}

---

Resonansfrekvensen beräknas på samma sätt för båda kretstyperna. Observera dock att man vid beräkning av Q för parallellresonanskretsen ska använda formeln för parallellresonanskretsen:

Q = \frac{f_0}{B} = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}}

Bandbredden hos parallell- och serieresonanskretsar kan också enkelt beräknas ur kretsens resonansfrekvens och Q-värde på följande sätt (formeln finns i formelsamlingen):

Q = \frac{f_0}{B}

Genom att ställa om formeln får vi bandbredden B:

B = \frac{f_0}{Q}

Ovanstående formel gäller både för serie- och parallellresonanskretsen!

---

För överföring av signaler mellan kopplingssteg och i filter i sändare och mottagare används ofta kopplade svängningskretsar. Då kopplas två svängningskretsar till varandra induktivt eller kapacitivt. Figur [ref:a_gekoppelte_schwingkreise] visar en induktiv koppling. Kopplingen kan, beroende på tillämpning, vara

• lös (d),
• underkritisk (c),
• kritisk (b) eller
• överkritisk (a).

Kopplingsgraden bestämmer den ömsesidiga påverkan och därmed hela arrangemangets bandbredd och genomsläppskurva.

[picture:184:a_gekoppelte_schwingkreise:Koppling av svängningskretsar]

Vid lös och underkritisk koppling är den ömsesidiga påverkan liten. Däremot är arrangemangets genomsläppsdämpning relativt hög och bandbredden relativt liten.

Vid kritisk koppling påverkar de båda svängningskretsarna varandra precis så mycket att en kurva som är platt i passbandet och har låg dämpning uppstår, och som är helt jämn i det önskade passbandet (platå). Arrangemangets bandbredd är här större än vid lös och underkritisk koppling. På detta kan man också lätt känna igen en kritisk koppling.

Vid överkritisk koppling är den ömsesidiga påverkan mellan de båda svängningskretsarna mycket stark, vilket leder till en kraftig förändring av båda resonansfrekvenserna och därmed till stor bandbredd. Genom detta förvrängs genomsläppskurvan kraftigt i passbandet, och det bildas två resonanstoppar på var sida om mittfrekvensen. Genomsläppskurvan får en ”svacka”. På detta känner man lätt igen överkritisk koppling.