50ohm-contents-dl/contents/sections/svangningskrets_1.md

[picture:1019:e_frequenzabhängiger_widerstand:Frekvensberoende hos kondensator och spole jämfört med ett vanligt motstånd] [picture:1020:e_herleitung_tiefpass:Härledning av lågpasskopplingen med utgångspunkt i en spänningsdelare]

I kapitlen om kondensatorer och spolar har vi redan lärt oss att båda komponenterna har en frekvensberoende reaktans. Figur [ref:e_frequenzabhängiger_widerstand] visar kvalitativt att ett vanligt motstånds resistans är oberoende av frekvensen, medan en kondensators reaktans avtar hyperboliskt med stigande frekvens och en spoles reaktans ökar linjärt med stigande frekvens.

Av dessa komponenter kan man bygga så kallade passiva frekvensfilter, som vi nu ska titta närmare på. I den första delen av kapitlet tittar vi på enkla filter, nämligen högpass- och lågpassfilter. Med dem kan man dämpa oönskade frekvensområden över eller under en gränsfrekvens. I den andra delen går vi vidare till mer komplexa filter, till exempel bandpassfilter.

Vi börjar med att härleda ett lågpassfilter som ett så kallat RC-filter. Utgångspunkten i steg (1) är kopplingen för en spänningsdelare, som visas i figur [ref:e_herleitung_tiefpass] och som vi redan känner till. Vi minns att följande gäller för en spänningsdelare:

\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}

Det betyder till exempel: Om motståndet R_2 är dubbelt så stort som motståndet R_1, så är också spänningen U_2 dubbelt så stor som spänningen U_1.

I steg (2) ersätter vi motståndet R_2 med kondensatorn C_1. Sedan ritar vi om kopplingen något i steg (3), så att vi får den vanliga framställningen av ett lågpassfilter.

---

Vi konstaterar: Ett lågpassfilter är i grunden ingenting annat än en spänningsdelare. Därför kan vi också betrakta det precis så i fortsättningen. I figur [ref:e_widerstaende_tiefpass] visas impedansförloppen som funktion av frekvensen ännu en gång. Vi börjar med låga frekvenser: Då är kondensatorns reaktans stor, så att det ligger en hög spänning på utgången. När frekvensen stiger blir kondensatorns reaktans allt mindre, och enligt spänningsdelarprincipen sjunker även utgångsspänningen.

På så sätt får vi det spänningsförlopp som visas i figur [ref:e_tiefpass_frequenzgang]. Därmed är också lågpassfiltrets grundidé förklarad: Höga frekvenser dämpas kraftigt, medan låga frekvenser passerar filtret i stort sett ohindrat. Ett användningsexempel för ett lågpassfilter är efter sändarens slutsteg, för att filtrera bort de övertoner som uppstår på grund av distorsion.

[picture:1021:e_widerstaende_tiefpass:Kvalitativt impedansbeteende i lågpassfiltrets spänningsdelare] [picture:1024:e_tiefpass_frequenzgang:Kvalitativt spänningsförlopp $U_\text{A}$ i lågpassfiltret] *Gränsfrekvensen* ($f_\text{g}$) för ett lågpassfilter är den frekvens där utsignalen precis börjar dämpas märkbart. Den markerar alltså övergången mellan det frekvensområde som filtret i stort sett släpper igenom ohindrat och det område där dämpningen ökar tydligt. Formellt definieras gränsfrekvensen så att utgångseffekten vid den har sjunkit till hälften av ingångseffekten ($\qty{-3}{\dB}$). Eftersom effekten är proportionell mot spänningens kvadrat motsvarar det att utgångsspänningen sjunkit till cirka $\qty{70}{\percent}$ av sitt ursprungliga värde ($\frac{1}{\sqrt{2}}$). I praktiken känner man därför ofta igen gränsfrekvensen på den punkt där utgångsspänningen blir tydligt lägre och frekvenskurvan börjar ”böja av”. Under gränsfrekvensen överförs låga frekvenser nästan oförändrade, över gränsfrekvensen dämpas högre frekvenser alltmer.

---

I ett högpassfilter dämpas däremot de låga frekvenserna kraftigt, medan de höga frekvenserna passerar filtret nästan odämpade. Det uppnår man genom att byta plats på kondensatorn och motståndet, som i figur [ref:e_widerstaende_hochpass]. Ett högpassfilters frekvenskurva visas kvalitativt i [ref:e_hochpass_frequenzgang]. Ett användningsexempel för ett högpassfilter är i en antennfilterenhet, till exempel för att filtrera bort kortvågsområdet framför en VHF-mottagare och på så sätt undvika störningar från kortvågstrafik.

[picture:1025:e_widerstaende_hochpass:Kvalitativt impedansbeteende i högpassfiltrets spänningsdelare] [picture:1022:e_hochpass_frequenzgang:Kvalitativt spänningsförlopp $U_\text{A}$ i högpassfiltret]

---

Enkla RC-filter har nackdelen att deras flanker är ganska flacka i gränsområdet. Dessutom bestäms den lägsta impedansen hos ett RC-lågpassfilter av motståndet R. Motståndet R kan dock ersättas av en spole, som i sitt frekvensbeteende är motsatsen till en kondensator. Det ligger därför nära till hands att kombinera spolar och kondensatorer till högpass- och lågpassfilter. Vid höga frekvenser är spolens reaktans hög, medan kondensatorns reaktans är låg. Vid låga frekvenser är spolens reaktans låg, medan kondensatorns reaktans är hög. Beroende på över vilken komponent utgångsspänningen mäts får man ett högpass- eller ett lågpassfilter. Om du kommer ihåg att spolens reaktans X_\text{L} är hög vid hög frekvens kan du snabbt avgöra om en koppling är ett högpass- eller lågpassfilter genom att titta på över vilken komponent utgångsspänningen mäts.

Även för kopplingar med kondensator och spole gäller en enkel regel: Om det i spänningsdelarens övre gren sitter en kondensator, som ett stående *H* – som i *H*ögpass, så är det ett högpassfilter. Sitter det i stället ett motstånd eller en spole i den övre grenen är det ett lågpassfilter. [picture:1023:e_hochpass_tipp:Minnesregel]

---

Naturligtvis kan flera frekvensberoende komponenter användas i samma koppling, så att övergången vid gränsfrekvensen blir brantare. Vilken koppling det är kan du med tipset ovan nu lätt känna igen.

Ett annat praktiskt exempel på filter av kedjade spolar och kondensatorer är diplexern som förklaras i marginalen.

*Praktiskt exempel diplexer:* Passiva högpass- och lågpassfilter används också i frekvensväxlar. I exemplet nedan visas en koppling för en så kallad diplexer för $\qty{2}{\meter}$ och $\qty{70}{\centi\meter}$. Den kan användas för att till exempel ansluta en $\qty{2}{\meter}$- och en $\qty{70}{\centi\meter}$-radio till en gemensam duobandsantenn. Omvänt kan man också ansluta separata antenner för $\qty{2}{\meter}$ och $\qty{70}{\centi\meter}$ till en VHF/UHF-duobandsradio, till exempel för att använda en rundstrålande antenn för $\qty{2}{\meter}$-direkttrafik och en riktantenn för $\qty{70}{\centi\meter}$-repeatertrafik. Framför $\qty{2}{\meter}$-utgången finns ett lågpassfilter, framför $\qty{70}{\centi\meter}$-utgången ett högpassfilter – vart och ett kombinerat av 5 frekvensberoende komponenter. [picture:939:e_circuit_diplexer:Kopplingsschema för en $\qty{2}{\meter}$-/$\qty{70}{\centi\meter}$-diplexer] [photo:171:e_example_diplexer:Exempel på uppbyggnad] [photo:320:e_tiefpass_selbstbau:Hemmabyggt lågpassfilter] Ovanstående filter kan förstås beräknas och byggas själv för alla frekvensområden. Nödvändiga formler finns i formelsamlingen, och det finns också många byggbeskrivningar och beräkningsprogram. De spolar som behövs är ofta lätta att tillverka själv. För små spolvärden räcker det med ett litet lager $\qty{0,8}{\milli\meter}$ kopparlackerad tråd för stabila luftspolar. För stora spolvärden, till exempel för kortvågsbanden, klarar man sig med $\qty{0,2}{\milli\meter}$ kopparlackerad tråd och kärnmaterial med lämpliga $A_\text{L}$-värden, så att man alltid kan tillverka rätt värden själv. Storlekar, antal varv och liknande får man oftast enkelt fram ur formelsamlingen, byggbeskrivningar eller beräkningsprogram.

---

Nu har vi lärt känna enkla RC- och LC-filter som högpass- och lågpassfilter. Av kondensatorer och spolar går det dock att bygga ytterligare filtertyper som går bortom rena högpass- och lågpassfilter. Dem ska vi titta närmare på i den andra delen, nämligen de så kallade svängningskretsarna.

[picture:1026:e_rp_schwingkreis:(a) Serie- (b) Parallellsvängningskrets]

I svängningskretsar placeras spole och kondensator – beroende på önskad filterverkan – så att en särskilt hög eller särskilt låg impedans uppstår vid en bestämd frekvens. På så sätt dämpas eller släpps frekvenser över eller under denna frekvens igenom på ett målinriktat sätt.

Spole och kondensator kan placeras antingen i serie eller parallellt. Man skiljer därför mellan serie­svängningskretsar (a) och parallellsvängningskretsar (b), som i figur [ref:e_rp_schwingkreis].

---

Kopplar man spole och kondensator parallellt och till exempel ger en fyrkantspuls till arrangemanget, börjar det svänga. Den laddade kondensatorn har nu lagrat energi i sitt elektriska fält, men den urladdas genom spolen. Strömmen genom spolen bygger upp ett magnetfält i den, vilket först motverkar strömflödet. Så snart magnetfältet är uppbyggt har dock kondensatorn urladdats helt. Energin är nu lagrad i spolens magnetfält. Eftersom kondensatorn inte kan laddas ur ytterligare och inte kan upprätthålla något strömflöde, kan inte heller magnetfältet bestå. Spolens magnetfält avtar och inducerar en spänning i motsatt riktning. Denna spänning laddar nu kondensatorn i motsatt riktning, tills magnetfältet i spolen har försvunnit och inte längre motverkar det elektriska fältet i kondensatorn. Därefter börjar förloppet om igen.

[include:applet_schwingkreis]

---

Därför talar man om en svängningskrets. Den frekvens som svängningskretsen svänger med kallas resonansfrekvens (f_0). Den kan jämföras med resonansfrekvensen hos en stämgaffel som sätts i svängning av en stöt. Vid resonans är spolens reaktans X_\text{L} och kondensatorns reaktans X_\text{C} lika stora. Sådana svängningskretsar kan dels användas för att alstra svängningar, vilket vi kommer att behandla närmare i kapitlet om oscillatorer, dels som filter – och det är just det som är ämnet för det här kapitlet.

[picture:1037:e_rsk_frequenzgang:Kvalitativ frekvenskurva för en serieresonanskrets]

---

I en serieresonanskrets som i figur [ref:e_rp_schwingkreis]a är den totala impedansen lägst vid resonans. Figur [ref:e_rsk_frequenzgang] visar frekvenskurvan. Vid frekvenser över resonansfrekvensen blir spolens reaktans större, så att även serieresonanskretsens totala impedans ökar. Samma sak händer vid frekvenser under resonansfrekvensen, men där är det kondensatorns reaktans som är stor. För serieresonanskretsar är impedansen därför lägst vid resonansfrekvensen. På grund av seriekopplingen bestäms kretsens impedans vid frekvenser långt från resonansfrekvensen av den komponent som har störst reaktans.

Impedansens belopp som funktion av frekvensen för en serieresonanskrets av ett motstånd, en spole och en kondensator beräknas med följande formel:

Z = \sqrt{R^2+\left(X_\text{L} - X_\text{C}\right)^2}

Vid resonans, när X_\text{C} = X_\text{L}, återstår bara motståndet R. I det ideala fallet, när motståndet R=\qty{0}{\ohm}, är impedansen till och med noll. Sätter vi in värdena för X_\text{L} och X_\text{C} får vi:

Z = \sqrt{R^2+\left(2\pi f \cdot L~-~\frac{1}{2\pi f \cdot C} \right)^2}

I formeln kan man mycket tydligt se frekvenskurvan från figur [ref:e_rsk_frequenzgang]: Om man låter frekvensen gå mot \qty{0}{\hertz} försvinner spolens bidrag och bara kondensatorn verkar. Låter man i stället frekvensen gå mot oändligheten verkar bara spolen och kondensatorns bidrag försvinner.

Man kan till och med beräkna resonansfrekvensen. När X_\text{L} = X_\text{C} gäller kan man lösa ut f ur formeln:

2\pi f \cdot L = \frac{1}{2\pi f \cdot C}

Då får vi formeln:

f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{L\cdot C}}

Den exakta härledningen av formlerna kan man till exempel läsa på Wikipedia. % TODO LINK: https://50ohm.de/schwk (Wikipedia-artikel om svängningskrets; byt mot t.ex. sv.wikipedia.org) Observera att alla frekvenskurvor är ritade kvalitativt och i verkligheten kan se något annorlunda ut.

---

Sätter man ihop kondensator och spole till en parallellsvängningskrets, som i figur [ref:e_rp_schwingkreis]b, blir det tvärtom: Impedansen $Z$ är mycket hög vid resonansfrekvensen, jfr figur [ref:e_psk_frequenzgang]. Vid frekvenser över resonansfrekvensen har kondensatorn en låg reaktans, så att kretsens impedans minskar. Vid frekvenser under resonansfrekvensen har i stället spolen en låg reaktans, så att kretsens impedans minskar även vid lägre frekvenser. För parallellsvängningskretsar är impedansen därför högst vid resonansfrekvensen. Vid frekvenser långt från resonansfrekvensen bestäms parallellsvängningskretsens impedans av den komponent som har lägst reaktans.

[picture:1036:e_psk_frequenzgang:Kvalitativ frekvenskurva för en parallellresonanskrets]

Beroende på hur parallell- och serieresonanskretsar används i signalvägen kan frekvensområden antingen dämpas eller filtreras bort. Här använder vi återigen vårt spänningsdelarresonemang.

---

Vi börjar med kopplingar för bandspärrar. Det finns två sätt att bygga dem som spänningsdelare: dels sugkretsen (jfr figur [ref:e_saugkreis]), dels spärrkretsen (jfr figur [ref:e_sperrkreis]). I figurerna visas både den frekvensberoende impedansen och utgångsspänningen. Med våra kända regler för spänningsdelaren kan sambanden härledas och förstås helt analogt med de RC-filter vi behandlat tidigare. Eftersom parallellsvängningskretsar har hög impedans vid resonans lämpar de sig bra som spärrkrets i serie i signalvägen. Eller så utnyttjar man serieresonanskretsens låga resonansimpedans parallellt med signalvägen som sugkrets. Ofta används båda i kombination. En tillämpning för bandspärrar är att undertrycka enskilda frekvensområden, till exempel när en närliggande FM-radiosändare stör mottagningen.

[picture:1038:e_saugkreis:Kvalitativa frekvenskurvor för en sugkrets] [picture:1040:e_sperrkreis:Kvalitativa frekvenskurvor för en spärrkrets]

---

Den andra kategorin av kopplingar som kan utvecklas ur svängningskretsar är bandpassfilter. Även här finns två sätt att bygga dem som spänningsdelare: dels ledkretsen (jfr figur [ref:e_leitkreis]), dels bandpassfiltret (jfr figur [ref:e_bandpass]). Också här sker härledningen som vanligt utifrån spänningsdelarens beteende. För ett bandpassfilter placerar man parallellsvängningskretsar parallellt med signalvägen, eftersom de har låg impedans för frekvenser långt från resonans och så att säga ”kortsluter” dem. En serieresonanskrets i serie i signalvägen ger ytterligare dämpning långt från resonans, medan den har låg impedans vid önskad frekvens.

[picture:1039:e_leitkreis:Kvalitativa frekvenskurvor för en ledkrets] [picture:1041:e_bandpass:Kvalitativa frekvenskurvor för ett bandpassfilter]

Ett självklart användningsexempel för bandpassfilter är i mottagare, där en förfiltrering av vissa frekvensband behövs. Då används ett filter som bara släpper igenom önskat frekvensband medan alla andra frekvenser dämpas. Sådana bandpassfilter finns därför i nästan varje mottagare, ofta till och med separat för varje enskilt kortvågsband. Dimensionerade för tillräckligt höga effekter används bandpassfilter också vid sändning, till exempel vid gemensamma contester eller fielddays, för att minimera ömsesidiga störningar mellan närliggande stationer.

För att bygga bandpassfilter och bandspärrar kan man alltså använda både serie- och parallellsvängningskretsar. Det avgörande är att ta hänsyn till hur respektive svängningskrets beter sig vid resonans. Beroende på detta kan de sitta i serie i eller parallellt med signalvägen – eventuellt till och med flera gånger kombinerade med varandra.

I filter går det bara att använda vissa lämpliga typer av kondensatorer. Elektrolytkondensatorer lämpar sig till exempel inte för HF-kopplingar, dels för att deras kapacitans är starkt frekvensberoende, dels för att de har en hög inre resistans vid höga frekvenser. Filmkondensatorer lämpar sig inte heller, eftersom de på grund av sina lindningar (egeninduktans) är starkt frekvensberoende, särskilt från kortvågsområdet och uppåt, och har lågt Q-värde. Keramiska kondensatorer har däremot bara små förluster, och kapacitansen är föga frekvens- och temperaturberoende. Dessutom är de lätta att få tag på även för höga spänningar. Lämpliga är också kondensatorer av plattor med luft som isolator, som man oftast träffar på som vridkondensatorer. För höga spänningar används vridkondensatorer även i antennanpassningsenheter.