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Grenzfrequenz

Bei Hoch- und Tiefpässen gilt für die Grenzfrequenz

Bei RL-Gliedern $R = X_L$ $f_g = \frac{R}{2 \cdot \pi \cdot L}$ Bei RC-Gliedern $R = X_C$ $f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot C}$

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[question:AD201]

Lösungsweg

• gegeben: R = 4,7kΩ
• gegeben: C = 2,2nF
• gesucht: f_g

$f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 4,7kΩ \cdot 2,2nF} = 15,4kHz$ --- [question:AD202] --- #### Lösungsweg * gegeben: $R = 10kΩ$ * gegeben: $C = 47nF$ * gesucht: $f_g$ $f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 10kΩ \cdot 47nF} = 339Hz$ --- [question:AD203] --- #### Lösungsweg * gegeben: $R_1 = 4,7kΩ$ * gegeben: $C_1 = 6,8nF$ * gesucht: $f_g$ $C_2$ und alle weiteren Angaben sind für den Tiefpass uninteressant. $f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R_1 \cdot C_1} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 4,7kΩ \cdot 6,8nF} \approx 5kHz$ --- ## Resonanzfrequenz

• Parallel- oder Reihenschaltung von Spule und Kondensator → Schwingkreis
• Hohe Frequenzen → hoher Widerstand an Spule
• Niedrige Frequenzen → hoher Widerstand an Kondensator
• Es gibt eine Frequenz, bei der Spule und Kondensator den gleichen Widerstand haben → Resonanzfrequenz

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[question:AD206] --- style="font-size: smaller;"

Parallelschwingkreis

[picture:233:a_schwingkreis_parallelschwingkreis:Parallelschwingkreis und Darstellung der Impedanz gegenüber der Frequenz]

• Ideale Bauelemente laden sich ständig um
• Theoretisch ist die Impedanz bei Resonanzfrequenz unendlich hoch
• Praktisch bestimmt das Bauteil mit dem geringsten Widerstand die Gesamtimpedanz
• Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz hat der Parallelschwingkreis eine geringere Impedanz

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Reihenschwingkreis

[picture:230:a_schwingkreis_reihenschwingkreis:Reihenschwingkreis und Darstellung der Impedanz gegenüber der Frequenz]

• Oder Serienschwingkreis
• Theoretisch ist die Impedanz bei Resonanzfrequenz 0Ω
• Praktisch wird die Impedanz durch den ohmschen Widerstand bestimmt
• Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz hat der Reihenschwingkreis eine höhere Impedanz

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[question:AD207]

[question:AD204]

Resonanzfall

Für Parallel- und Reihenschwingkreis:

X_C = X_L

Impedanzen sind gleich groß.

Resonanzfrequenz mit Thomson'sche Schwingkreisformel:

f_0 = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}

William Thomson, später Lord Kelvin, in 1853 ---

[question:AD208]

Lösungsweg

• gegeben: L = 1,2µH
• gegeben: C = 6,8pF
• gegeben: R = 10Ω
• gesucht: f_0

$\begin{equation}\begin{split}\nonumber f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{1,2µH \cdot 6,8pF}} = 55,7MHz \end{split}\end{equation}$ Widerstand $R$ wird zur Berechnung nicht benötigt. --- [question:AD209] --- #### Lösungsweg * gegeben: $L = 10µH$ * gegeben: $C = 1nF$ * gesucht: $f_0$ $\begin{equation}\begin{split}\nonumber f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{10µH \cdot 1nF}} = 1,592MHz \end{split}\end{equation}$ --- [question:AD210] --- #### Lösungsweg * gegeben: $L = 100µH$ * gegeben: $C = 0,01µF$ * gesucht: $f_0$ $\begin{equation}\begin{split}\nonumber f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{100µH \cdot 0,01µF}} = 159kHz \end{split}\end{equation}$ --- [question:AD211] --- #### Lösungsweg * gegeben: $L = 2,2µH$ * gegeben: $C = 56pF$ * gesucht: $f_0$ $\begin{equation}\begin{split}\nonumber f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{2,2µH \cdot 56pF}} = 14,34MHz$ --- [question:AD212] --- style="font-size: 0.7em;" #### Lösungsweg * gegeben: $C_1 = 0,1nF$ * gegeben: $C_2 = 1,5nF$ * gegeben: $C_3 = 220pF$ * gegeben: $L = 1,2mH$ * gesucht: $f_0$ $C = C_1 + C_2 + C_3 = 0,1nF + 1,5nF + 220pF = 1,82nF$ $\begin{equation}\begin{split}\nonumber f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{1,2mH \cdot 1,82nF}} = 107,7kHz \end{split}\end{equation}$ --- ### Verändern der Resonanzfrequenz

• Größere Spule oder Kondensator → kleinere Resonanzfrequenz
• Kleinere Spule oder Kondensator → größere Resonanzfrequenz

Induktivität vergrößern * Vergrößern der Windungszahl * Zusammenschieben * Einführen eines Ferritkerns

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[question:AD213]

[question:AD214]

[question:AD215]

[question:AD216]

[question:AD217]

Spannungsgesteuerter Schwingkreis

[picture:752:a_schwingkreis_potentiometer:Veränderung der Kapazität durch einen Varicap]

• Varicap wird durch eine Steuerspannung am Widerstandsspannungsteiler verändert
• Kleinere Spannung am Varicap → kleinere Grenzschicht im Varicap → größere Kapazität
• In Reihe geschaltete Kondensatoren → Kapazität steigt → Resonanzfrequenz fällt

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[question:AD218] --- style="font-size: smaller;"

Bandpassfilter

[picture:785:a_schwingkreis_bandpass:Bandpassfilter aus mehreren Schwingkreisen]

• Kombination aus Parallel- und Reihenschwingkreisen
• Lässt einen bestimmten Frequenzbereich passieren
• Parallelschwingkreise wie hochohmige Widerstände
• Reihenschwingkreis wie niederohmiger Widerstand

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[question:AD205]

Bandbreite

• Große Abhängigkeit vom ohmschen Widerstand
• In Angabe von dB auf einen Referenzwert des Filters
• Z.B. Bandbreite bei -3dB-Wert
• Halbe Leistung eines Signals kann noch das Filter passieren
• Oder die 0,7-fache Signalspannung

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[question:AD219]

[question:AD220]

Übliche Bandbreiten

• Schmalbandig mit 500 Hz für Telegrafie (CW)
• Breitbandig mit 2,7 kHz für Sprachmodulation (SSB)

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[question:AD221]

[question:AD222]

Güte eines Schwingkreises

• Auch Q-Faktor
• Kennzeichen für Energieverlust
• Verhältnis der Blindwiderstände zum ohmschen Widerstand im Resonanzfall (X_L = X_C)

Reihenschwingkreis $Q = \frac{f_0}{B} = \frac{X_L}{R_S}$ Parallelschwingkreis $Q = \frac{f_0}{B} = \frac{R_P}{X_L}$

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[question:AD225] --- style="font-size: 0.7em;"

Lösungsweg

* gegeben: $L = 100µH$ * gegeben: $C = 0,01µF$ * gegeben: $R_S = 10Ω$ * gesucht: $Q$ $\begin{equation}\begin{split}\nonumber f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{100µH \cdot 0,01µF}} = 159,2kHz \end{split}\end{equation}$ $B$ oder $X_L$ ausrechnen $\begin{equation}\begin{split}\nonumber X_L = \omega \cdot L = 2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \cdot \pi \cdot 159,2kHz \cdot 100µH = 100,03Ω \end{split}\end{equation}$ $Q = \frac{X_L}{R_S} = \frac{100,03Ω}{10Ω} \approx 10$ --- [question:AD226] --- style="font-size: 0.7em;" #### Lösungsweg * gegeben: $L = 2,2µH$ * gegeben: $C = 56pF$ * gegeben: $R_P = 1kΩ$ * gesucht: $Q$ $\begin{equation}\begin{split}\nonumber f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{2,2µH \cdot 56pF}} = 14,34MHz \end{split}\end{equation}$ $B$ oder $X_L$ ausrechnen $\begin{equation}\begin{split}\nonumber X_L &= \omega \cdot L = 2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \cdot \pi \cdot 14,34MHz \cdot 2,2µH = 198,2Ω \end{split}\end{equation}$ $Q = \frac{R_P}{X_L} = \frac{1kΩ}{198,2Ω} \approx 5$ --- ### Bandbreite berechnen

Über Resonanzfrequenz und Güte

Q = \frac{f_0}{B} \Rightarrow B = \frac{f_0}{Q}

Oder eingesetzt mit der Thomson'schen Schwingkreisformel Reihenschwingkreis $B = \frac{R_S}{2\cdot \pi \cdot L}$ Parallelschwingkreis $B = \frac{1}{2\cdot \pi \cdot R_P \cdot C}$ Herleitung nicht gezeigt

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[question:AD224]

Lösungsweg

• gegeben: L = 2,2µH
• gegeben: C = 56pF
• gegeben: R_P = 1kΩ
• gesucht: B

$\begin{equation}\begin{split}\nonumber B &= \frac{1}{2\cdot \pi \cdot R_P \cdot C}\\ &= \frac{1}{2\cdot \pi \cdot 1kΩ \cdot 56pF} = 2,84MHz \end{split}\end{equation}$

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[question:AD223]

Lösungsweg

• gegeben: L = 100µH
• gegeben: C = 0,01µF
• gegeben: R_S = 10Ω
• gesucht: B

$B = \frac{R_S}{2\cdot \pi \cdot L} = \frac{10Ω}{2\cdot \pi \cdot 100µH} = 15,9kHz$ --- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" ## Kopplung

[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]

• Zwischen Schaltungsstufen oder Filtern werden häufig gekoppelte Schwingkreise verwendet
• Zwei Schwingkreise induktiv oder kapazitiv aneinander gekoppelt
• Grad der Kopplung bestimmt die gegenseitige Beeinflussung, Bandbreite und Durchlasskurve

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" [picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]

• d: lose Kopplung → kaum gegenseitige Beeinflussung, sehr hohe Durchlassdämpfung und sehr geringe Bandbreite
• c: unterkritische Kopplung → kaum gegenseitige Beeinflussung, hohe Durchlassdämpfung und geringe Bandbreite

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" [picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]

• b: kritische Kopplung → etwas gegenseitige Beeinflussung, flache Durchlasskurve mit geringer Dämpfung und Plateau im Durchlassbereich sowie gute Bandbreite

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" [picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]

• a: überkritische Kopplung → starke gegenseitige Beeinflussung, Änderung der Resonanzfrequenzen, große Bandbreite und Verzerrung der Durchlasskurve im Durchlassbereich mit "Dellen"

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[question:AD227]

[question:AD228]

[question:AD229]