5.1 KiB
Wir stehen oft vor dem Problem, dass ein gewünschter Widerstandswert nicht in der sogenannten "Widerstands-Normreihe" enthalten ist. Es könnte auch sein, dass ein Widerstand eine große Verlustleistung umsetzen muss, die in handelsüblichen Einzelwiderständen nicht möglich ist -- um nur zwei Beispiele zu nennen. Wir werden jetzt betrachten, wie wir durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung von Widerständen andere Widerstandswerte erhalten können.
Aus dem Ohmschen Gesetz können wir die Regeln von Reihen- und Paralelschaltungen von Widerständen herleiten:
U=R \cdot I
Die Abbildung [ref:e_spannungsteiler] zeigt zwei Widerstände R_1 und R_2, die hinter einander geschaltet werden. Sie vom gleichen Strom I durchflossen. An den Widerständen fallen dann die Spannungen
U_1 = R_1 \cdot I und U_2 = R_2 \cdot I ab.
Die Gesamtspannung U_g ist einfach die Summe dieser beiden Spannungen:
U_g = U_1 + U_2 = R_{\mathrm{ges}} \cdot {I} = R_1 \cdot I + R_2 \cdot I
Jetzt können wir den Widerstand berechnen, der zwischen den äußeren Klemmen zu sehen ist:
R_{\mathrm{ges}} = \frac{U_g}{I} = R_1 + R_2, weil sich auf beiden Seiten der Gleichung der Strom I rauskürzt.
Das Ganze funktioniert auch bei mehr als zwei Widerständen, wie in der Formelsammlung dargestellt:
R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + \dots
Doch wie verhält es sich, wenn wir zwei Widerstände R_1 und R_2 parallel schalten wie in Abbildung [ref:e_parallelschaltung] gezeigt?
Jetzt liegt an beiden Widerständen die selbe Spannung U an, die in den Widerständen die Ströme
I_1 = \frac{U}{R_1} und I_2 = \frac{U}{R_2}
fließen lässt.
[picture:945:e_parallelschaltung:In dieser Schaltung sind alle Spannungen und Ströme zu sehen.]Der im äußeren Stromkreis fließende Strom ist die Summe dieser beiden Ströme:
I = I_1 + I_2 = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}
Wir suchen wieder einen Gesamtwiderstand R_{\mathrm{ges}}, für den dann gelten muss: I=\frac{U}{R_{\mathrm{ges}}} und folglich:
\dfrac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}
Der Kehrwert des Gesamtwiderstands ist also die Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände. Eine Konsequenz ist, dass man bei einer Parallelschaltung einer Reihe gleicher Widerstände einfach den Wert des einzelnen Widerstands durch die Anzahl der Widerstände teilt.
Auch hier können wir die Berechnung für beliebig viele parallele Widerstände durchführen (vgl. Formelsammlung):
\dfrac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_4} + \dots
Den Ausdruck für zwei parallele Widerstände können wir nach den Regeln der Bruchrechnung auch schreiben als:
R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}
[question:ED104] [question:ED105] [question:ED106]
Genau darauf achten, dass die in der Rechnung verwendeten Widerstände immer die selben Einheiten haben. Wir empfehlen immer, möglichst auf die Grundeinheit ($\unit{\ohm}$) zu gehen. Schalten wir z.B. einen $\qty{1}{\kilo\ohm}$- und einen $\qty{10}{\ohm}$-Widerstand in Reihe, dann rechnen wir $\qty{1000}{\ohm} + \qty{10}{\ohm} = \qty{1010}{\ohm}$.Einige der Aufgaben enthalten Widerstandsnetzwerke, in denen sowohl eine Reihen- als auch eine Parallelschaltung vorkommt. Da gehen wir so vor, dass wir erst z.B. die Parallelschaltung in einen äquivalenten Widerstand umwandeln, den wir dann mit dem in Reihe geschalteten dritten Widerstand zusammenfassen. Oder halt umgekehrt, je nach dem, was sich anhand des Schaltbildes anbietet.
[picture:305:e_tipp_aufgabe:Beispielschaltung]Ein wichtiges Lösungsverfahren ist die "Methode des scharfen Hinsehens" ... da gibt es zum Beispiel eine Schaltung, die einen Widerstand R_1 in Reihe mit zwei parallel geschalteten Widerständen R_2 und R_3 hat. Die Werte sind R_1 = \qty{1}{\kilo\ohm}, R_2 = \qty{2000}{\ohm} und R_3 = \qty{2}{\kilo\ohm}. Nun sind aber \qty{2}{\kilo\ohm} = \qty{2000}{\ohm}. Die Parallelschaltung von R_2 und R_3 ergibt einen Widerstand, der halb so groß ist: \qty{1000}{\ohm} = \qty{1}{\kilo\ohm}. Den schalten wir in Reihe mit R_1 und erhalten das Ergebnis: R_{\mathrm{ges}} = \qty{2}{\kilo\ohm}.
[question:ED111] [question:ED110] [question:ED112] [question:ED113] [question:ED108] [question:ED109]
Bei Leistungsbetrachtungen geht man am Besten von dem bekannten Ausdruck für die Leistung aus:
P = U \cdot I
Bei der Reihenschaltung von z.B. drei gleichen Widerständen fließt durch alle Widerstände der gleiche Strom, aber an jedem einzelnen Widerstand fällt nur ein Drittel der äußeren Spannung ab. Bei der Parallelschaltung liegt an allen Widerständen die selbe Spannung, aber der Strom teil sich auf drei Pfade auf. In beiden Fällen verträgt also die Schaltung das dreifache der Leistung des einzelnen Widerstandes.
[question:ED107]