Merge pull request #260 from DARC-e-V/refactor/digitaleuebertragung

Refactor/digitaleuebertragung

contents/sections/abtasttheorem.md

@@ -32,3 +32,23 @@ Nehmen wir ein praktisches Beispiel wie im Fall eines CD-Players, der mit einer
 Mit der folgenden Aufgabe kannst du dein Wissen zum Abtasttheorem testen.
 
 [question:AF619]
+
+Im vorherigen Kapitel haben wir die I/Q-Darstellung und den I/Q-Modulator kennengelernt. In einem digitalen System werden die beiden Komponenten I und Q als zwei getrennte digitale Datenströme verarbeitet. Diese können durch digitale Signalverarbeitung erzeugt, verändert und ausgewertet werden.
+
+Auf der Empfängerseite wird das Eingangssignal dazu mit zwei Signalen gleicher Frequenz gemischt, die um $\qty{90}{\degree}$ gegeneinander phasenverschoben sind. Dadurch entstehen ein I- und ein Q-Signal. Beide Signale werden anschließend jeweils mit einem A/D-Umsetzer digitalisiert und können danach digital weiterverarbeitet werden. Auf der Senderseite funktioniert der Vorgang umgekehrt: Digitale I- und Q-Datenströme werden mit zwei D/A-Umsetzern in analoge Signale umgewandelt und anschließend einem I/Q-Modulator zugeführt.
+
+Ein digitaler I/Q-Datenstrom kann einen Frequenzbereich um eine bestimmte Mittenfrequenz herum darstellen. Dabei werden Frequenzen unterhalb der Mittenfrequenz durch negative und Frequenzen oberhalb der Mittenfrequenz durch positive Frequenzabweichungen beschrieben.
+
+Wird ein Eingangssignal beispielsweise mit zwei um $\qty{90}{\degree}$ gegeneinander phasenverschobenen Signalen von jeweils $\qty{435}{\mega\hertz}$ gemischt, repräsentiert der entstehende I/Q-Datenstrom einen Frequenzbereich um die Mittenfrequenz von $\qty{435}{\mega\hertz}$.
+
+Wie groß dieser Frequenzbereich ist, hängt von der Abtastrate ab. Werden sowohl I als auch Q mit einer Abtastrate von $f_\mathrm{S}$ abgetastet, kann idealerweise ein Frequenzbereich von
+
+$-\frac{f_\mathrm{S}}{2}$ bis $+\frac{f_\mathrm{S}}{2}$
+
+um die Mittenfrequenz dargestellt werden. Die insgesamt darstellbare Bandbreite entspricht damit der Abtastrate $f_\mathrm{S}$.
+
+Werden beispielsweise I und Q jeweils mit $\qty{10}{\mega\sample\per\second}$ abgetastet, kann der I/Q-Datenstrom einen Frequenzbereich von $\qty{-5}{\mega\hertz}$ bis $\qty{+5}{\mega\hertz}$ um die Mittenfrequenz darstellen. Bei einer Mittenfrequenz von $\qty{435}{\mega\hertz}$ entspricht dies einem Frequenzbereich von $\qty{430}{\mega\hertz}$ bis $\qty{440}{\mega\hertz}$.
+
+[question:AF634]
+[question:AF635]
+[question:AF636]

contents/sections/datenuebertragungsdrate.md

@@ -1,7 +1,6 @@
-Digitale Übertragungssysteme verwenden sehr unterschiedliche Verfahren, um die pro Sekunde übertragbare Datenmenge (Bits) und/oder die Robustheit gegenüber Störungen unterschiedlicher Natur zu optimieren. Dabei spielen drei Begriffe eine wichtige Rolle:
+Digitale Übertragungssysteme übertragen keine analogen Signale, sondern digitale Informationen. Diese werden in Form von binären Zahlen übertragen, den sogenannten Bits. Dabei müssen zwei Begriffe unterschieden werden:
 
--  *Symbolrate*: Bei digitalen Modulationsverfahren spricht man auch von Modulationsalphabeten, die eine bestimmte Anzahl von Symbolen enthalten können. Bei einfachen Verfahren, wie etwa dem klassischen Funkfernschreiben, wird je Symbol nur ein Bit ($\num{0}$ oder $\num{1}$) übertragen, bei anderen kann es mehr Symbole geben. Die Symbolrate wird in *Baud ($\unit{\baud}$)* angegeben, dies ist der Kehrwert der zeitlichen Symbollänge. Wenn zum Beispiel ein Symbol $\qty{20}{\milli\second}$ dauert, beträgt die Symbolrate $(\qty{20}{\milli\second})^{-1}= \qty{50}{\baud}$. Die Bandbreite wird im Wesentlichen von der Symbolrate beeinflusst.
-- *Datenübertragungsrate*: Pro Symbol können durchaus auch mehrere Bit übertragen werden. So hat die sogenannte quaternäre Phasenmodulation vier unterschiedliche Phasenzustände ($\qty{0}{\degree}$, $\qty{90}{\degree}$, $\qty{180}{\degree}$, $\qty{270}{\degree}$), die wir mit den Bitkombinationen (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) belegen können. Pro Symbol können also zwei Bit übertragen werden, die Datenübertragungsrate ist zweimal so hoch wie die Symbolrate. Es gibt noch sehr viel komplexere Modulationsalphabete, die deutlich mehr Bit pro Symbol übertragen können - allerdings zu Lasten der Störfestigkeit. Die Datenübertragungsrate wird in *$\unit{\bit\per\second}$* angegeben.
+- *Datenübertragungsrate*: Sie gibt an wie viele Bit pro Sekunde übertragen werden. Die Einheit der Datenübertragungsrate ist *$\unit{\bit\per\second}$*
 - *Bandbreite*: Den Begriff der Bandbreite haben wir bereits kennen gelernt. Sie wird in *Hertz ($\unit{\hertz}$)* angegeben, wie die Frequenz, und darf nicht mit der Datenübertragungsrate verwechselt werden, auch wenn in der Umgangssprache von der Datenübertragungsrate als Bandbreite gesprochen wird (z.B. beim DSL-Anschluss).
 
 [question:EA106]

contents/sections/fehlerkorrektur.md

@@ -1,41 +1,42 @@
-Erkennt der Empfänger einen Fehler, zum Beispiel durch Prüfbits, kann er den Sender um eine erneute Übertragung der Daten bitten, um den Fehler zu korrigieren. Bei der Vorwärtsfehlerkorrektur hingegen ist oft keine Neuübertragung nötig. Dazu wird weitere Redundanz zu den Daten hinzugefügt, z. B. mehrere Prüfbits. So wird nicht nur erkannt, dass ein Fehler vorliegt, sondern auch wo. Das Verfahren kann den Fehler somit korrigieren, indem es das als fehlerhaft erkannte Bit berichtigt. Wie das im Detail funktioniert, kannst du im Bonus-Kasten nachlesen. Es ist aber nicht prüfungsrelevant. Im Englischen wird von Forward Error Correction (FEC) gesprochen.
+Erkennt der Empfänger einen Übertragungsfehler, zum Beispiel mithilfe von Prüfbits, kann er den Sender um eine erneute Übertragung der Daten bitten. Bei der *Vorwärtsfehlerkorrektur* ist dagegen häufig keine Neuübertragung erforderlich. Dazu werden den Nutzdaten zusätzliche Informationen hinzugefügt, zum Beispiel mehrere Prüfbits. Damit kann der Empfänger unter bestimmten Voraussetzungen nicht nur erkennen, dass ein Fehler aufgetreten ist, sondern auch bestimmen, welches Bit fehlerhaft ist, und dieses korrigieren. Im Englischen wird dieses Verfahren als *Forward Error Correction* (FEC) bezeichnet.
+
+Wie das im Detail funktionieren kann, zeigt der folgende Bonus-Kasten am Beispiel eines Hamming-Codes. Das genaue Verfahren ist nicht prüfungsrelevant.
 
 [question:AE413]
 [question:AE414]
 
 <indepth>
-
-Der Hamming-Code ist ein Fehlerkorrekturverfahren, das mehrere Parity Bits verwendet. Nehmen wir an, wir wollen die folgenden 11 Bits übertragen:
+Der Hamming-Code ist ein Fehlerkorrekturverfahren, das mehrere Paritätsbits verwendet. Nehmen wir an, wir wollen die folgenden $\num{11}$ Datenbits übertragen:
 
 [picture:683:hamming1: ]
 
-Das Ziel soll es sein, dass ein Bitfehler nicht nur erkannt, sondern auch korrigiert werden kann. Dazu ist es hilfreich, wenn wir uns die Positionen der einzelnen Bits mal genauer anschauen. Dazu benennen wir die Positionen alphabetisch:
+Damit ein einzelner Bitfehler nicht nur erkannt, sondern auch korrigiert werden kann, müssen wir feststellen können, an welcher Stelle der Fehler aufgetreten ist. Dazu betrachten wir zunächst die Positionen der einzelnen Bits und benennen sie alphabetisch:
 
 [picture:682:hamming2: ]
 
-Nun ordnen wir die Bits etwas anders an und fügen noch einige zusätzliche Bits hinzu:
+Nun ordnen wir die Datenbits etwas anders an und fügen vier zusätzliche Paritätsbits $p_1$ bis $p_4$ hinzu:
 
 [picture:684:hamming3: ]
 
-Anstatt eines einzelnen Prüfbits verwenden wir jetzt vier ($p_1$-$p_4$), die verschiedene Bereiche unserer Datenbits, ähnlich einem Kreuzworträtsel, abdecken:
+Die vier Paritätsbits überprüfen unterschiedliche, sich überlappende Gruppen von Bits:
 
 [picture:685:hamming4: ]
 
-Jedes Prüfbit sichert einen gewissen Bereich ab:
+Jedes Paritätsbit sichert dabei eine bestimmte Gruppe ab:
 
 [picture:686:hamming5: ]
 
-Schauen wir uns wieder das Ganze mit unseren Daten an. Für jeden Bereich berechnen wir das Prüfbit mit Even Parity:
+Für jede dieser Gruppen berechnen wir nun das zugehörige Paritätsbit mit *Even Parity*:
 
 [picture:687:hamming6: ]
 
-Tritt bei der Übertragung ein Fehler auf, kann dieser durch die Kombination der verschiedenen Bereiche der Fehler lokalisiert und korrigiert werden. 
+Tritt bei der Übertragung ein einzelner Bitfehler auf, schlagen bestimmte Paritätsprüfungen fehl. Aus der Kombination der fehlgeschlagenen Prüfungen lässt sich bestimmen, an welcher Position der Fehler aufgetreten ist. Das fehlerhafte Bit kann anschließend umgekehrt und damit korrigiert werden.
 
-Wird zum Beispiel das Bit $k$ durch die Übertragung zu einer $\num{0}$, so werden alle Paritätsprüfungen ($p_1$-$p_4$) fehlschlagen. Der Fehler muss also bei Bit $k$ liegen.
+Wird zum Beispiel das Bit $k$ bei der Übertragung zu einer $\num{0}$, schlagen alle vier Paritätsprüfungen $p_1$ bis $p_4$ fehl. Nur Bit $k$ gehört zu allen vier überprüften Gruppen. Der Fehler muss daher bei Bit $k$ liegen.
 
-Tritt z.\,B. der Fehler im Bit $a$ auf, so schlägt die Paritätsprüfung von $p_1$ und $p_2$ fehl, während die von $p_3$ und $p_4$ erfolgreich ist. Der Fehler muss also bei Bit $a$ liegen.
+Tritt dagegen ein Fehler im Bit $a$ auf, schlagen nur die Paritätsprüfungen von $p_1$ und $p_2$ fehl, während die Prüfungen von $p_3$ und $p_4$ erfolgreich sind. Aus diesem Muster kann der Empfänger erkennen, dass Bit $a$ fehlerhaft ist.
 
-Selbst fehler in den Parity Bits können erkannt und korrigiert werden. Tritt z.\,B. der Fehler im Bit $p_1$ auf, so schlägt die Paritätsprüfung von $p_1$ fehlschlägt, während die von $p_2$, $p_3$ und $p_4$ erfolgreich ist. Der Fehler muss also bei Bit $p_1$ liegen.
+Auch ein Fehler in einem Paritätsbit selbst kann erkannt und korrigiert werden. Ist beispielsweise $p_1$ fehlerhaft, schlägt nur die zu $p_1$ gehörende Paritätsprüfung fehl, während die Prüfungen von $p_2$, $p_3$ und $p_4$ erfolgreich sind. Der Fehler muss daher bei $p_1$ liegen.
 
-Treten mehr als 1 Fehler auf, so kann der Hamming-Code diese nicht mehr korrekt erkennen und korrigieren. Es gibt aber Erweiterungen des Hamming-Codes, die auch Mehrbitfehler erkennen können.
-</indepth>
+Der hier gezeigte Hamming-Code ist für die Korrektur eines einzelnen Bitfehlers ausgelegt. Treten mehrere Bitfehler gleichzeitig auf, kann aus den Paritätsprüfungen nicht mehr zuverlässig auf die tatsächliche Fehlerposition geschlossen werden. Erweiterte Hamming-Codes können zusätzlich beispielsweise zwei gleichzeitig auftretende Bitfehler sicher erkennen.
+</indepth>

contents/sections/iq_verfahren.md

@@ -1,28 +1,37 @@
-% TODO neu formulieren
-% Idee DL9MJ: Beispiel mit Bild je ein Bit in I und Q und wie das Signal für 00, 01, 10, 11 aussieht
+Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass Symbole beispielsweise durch unterschiedliche Amplituden oder Frequenzen dargestellt werden können. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Phasenlage eines Signals zu verändern. Um Signalzustände mit unterschiedlicher Amplitude und Phase übersichtlich darzustellen, wird häufig die sogenannte *I/Q-Darstellung* verwendet.
 
-QAM kann besonders einfach mit Hilfe von zwei Trägern derselben Frequenz erzeugt werden. Einer der beiden Träger muss dabei um $\qty{90}{\degree}$ phasenverschoben sein. Beide Träger werden dann jeweils mit einem eigenen Signal amplitudenmoduliert. Das eine Signal wird als I (für In-Phase Component) und das andere Signal als Q (für Quadrature Phase Component) bezeichnet. Der phasenverschobene Träger wird dabei mit dem Q-Signal moduliert. In Anschluss werden die beiden modulierten Träger überlagert, wobei ein Träger entsteht, der sich sowohl in der Amplitude als auch in der Phase ändert.
+Betrachten wir zunächst einen Signalzustand zum Zeitpunkt $t=0$. Für das Symbol werden eine Amplitude $A$ und eine Phasenlage $\varphi$ festgelegt. In einer Zeigerdarstellung bestimmt die Amplitude die Länge des Zeigers und die Phasenlage seinen Winkel gegenüber der waagerechten Achse.
 
-<indepth>
-[include:applet_iq]
-</indepth>
-  
-%TODO BILD QAM4 QAM8 oder mehr?
+Der Zeiger lässt sich in einen waagerechten und einen senkrechten Anteil zerlegen. Der waagerechte Anteil wird als $I$ für *In-Phase Component* bezeichnet, der senkrechte Anteil als $Q$ für *Quadrature Component*. Für den dargestellten Signalzustand gilt:
 
-[question:AE404]
-[question:AF632]
+$I=A\cdot\cos(\varphi)$
 
-Die Grundidee, ein Signal in zwei Teilen getrennt zu verarbeiten, findet auch in der digitalen Signalverarbeitung breite Anwendung. Es wird nach den beiden Teilsignalen als I/Q-Verfahren bezeichnet. Das I/Q-Verfahren ermöglicht es, jedes beliebige Signal zu erzeugen. Dazu besteht der zu modulierende Datenstrom aus einem I- und einem Q-Anteil. Zwei D/A-Umsetzer wandeln jeweils einen der beiden Anteile in ein analoges I- bzw. Q-Signal um. Mit dem I- und dem Q-Signal werden wiederum die beiden phasenverschobenen Träger moduliert. Im letzten Schritt werden diese zu einem Träger überlagert, der ausgesendet wird.
+$Q=A\cdot\cos(\varphi-\qty{90}{\degree})=A\cdot\sin(\varphi)$
 
-Entsprechend wird auch auf der Empfängerseite vorgegangen. Das Eingangssignal wird mit einem Träger gemischt, um das I-Signal zu erhalten, das dann mittels A/D-Umsetzer in den I-Anteil eines Datenstroms umgewandelt wird. Gleichzeitig wird das Eingangssignal aber auch mit einem um $\qty{90}{\degree}$ phasenverschobenen Träger gemischt, um das Q-Signal zu erhalten, das wiederum mittels eines A/D-Umsetzers in den Q-Anteil des Datenstroms umgewandelt wird.
+Lassen wir die Zeit weiterlaufen, dreht sich der zur Schwingung gehörende Zeiger. Seine Projektionen auf die beiden Achsen verlaufen sinusförmig und sind um $\qty{90}{\degree}$ gegeneinander phasenverschoben. Das Applet zeigt diesen Zusammenhang zwischen der Schwingung und ihrer I/Q-Darstellung.
+
+[include:applet_iq_zeiger]
 
 [question:AF633]
 
-Ein solcher digitaler Datenstrom kann immer einen bestimmten Frequenzbereich des Eingangssignals abbilden, der um eine Mittenfrequenz herum liegt. Wird das Eingangssignal beispielsweise mit einem $\qty{435}{\mega\hertz}$-Träger und einem um $\qty{90}{\degree}$ phasenverschobenen $\qty{435}{\mega\hertz}$-Träger gemischt und die beiden entstehenden Signale durch A/D-Umsetzer digitalisiert, dann bildet der entstehende I/Q-Datenstrom den Frequenzbereich um $\qty{435}{\mega\hertz}$ herum ab.
+Anschaulich kann man sich vorstellen, dass zu Beginn jedes Symbolintervalls der zu übertragende Symbolwert einen Punkt in der I/Q-Ebene und damit die Amplitude und die anfängliche Phasenlage der Schwingung für dieses Symbol festlegt. Beim nächsten Symbol wird entsprechend auf den Signalzustand des nächsten Punktes übergegangen.
 
-% TODO Verweis auf Abtasttheorem?
-Die abgedeckte Bandbreite hängt dabei von der Abtastrate der A/D-Umsetzung ab. Die Bandbreite in Hz entspricht dabei der Abtastrate in Samples pro Sekunde. Werden in unserem Beispiel sowohl der I- als auch der Q-Anteil mit 10 Millionen Samples pro Sekunde abgetastet, dann kann der entstehende I/Q-Datenstrom einen Frequenzbereich von $\qty{10}{\mega\hertz}$ Bandbreite abdecken, also von $\qty{-5}{\mega\hertz}$ bis $\qty{+5}{\mega\hertz}$ in Bezug auf die Mittenfrequenz. Der Datenstrom deckt dann also die Frequenzen von $\qty{430}{\mega\hertz}$ bis $\qty{440}{\mega\hertz}$ ab.
+Für die Darstellung der Symbole interessiert uns also nicht die fortlaufende Drehung des Zeigers, sondern der für das jeweilige Symbol festgelegte Startzustand. Werden die möglichen Startzustände als Punkte in der I/Q-Ebene eingezeichnet, spricht man von einem *Konstellationsdiagramm* (vgl. Abbildung [ref:a_konstellationsdiagramm]). Jeder Punkt entspricht einem möglichen Symbol. Der Abstand eines Punktes vom Ursprung beschreibt die Amplitude des Signals. Sein Winkel gegenüber der I-Achse beschreibt die Phasenlage.
 
-[question:AF634]
-[question:AF635]
-[question:AF636]
+<margin>
+[picture:1060:a_konstellationsdiagramm:Konstellationsdiagramm]
+</margin>
+
+<indepth>
+Für mathematisch interessierte: Eine sinusförmige Schwingung kann mathematisch auch als *komplexer Zeiger* beschrieben werden, der sich mit der Kreisfrequenz $\omega_\mathrm{c}$ dreht:
+
+$s(t) = \Re\left\{A \cdot e^{j(\omega_\mathrm{c}t+\varphi)}\right\} = A\cos(\omega_\mathrm{c}t+\varphi)$
+
+Dabei beschreibt $A$ die Amplitude und $\varphi$ die anfängliche Phasenlage des Signals. Der komplexe Ausdruck lässt sich in zwei Teile zerlegen:
+
+$A \cdot e^{j(\omega_\mathrm{c}t+\varphi)} = \underbrace{A \cdot e^{j\varphi}}_{\text{Amplitude und Phase}} \cdot \underbrace{e^{j\omega_\mathrm{c}t}}_{\text{Träger}}$
+
+In einem Konstellationsdiagramm interessiert uns der erste Teil $A \cdot e^{j\varphi}$. Er beschreibt Amplitude und Phasenlage des Signalzustands. Die fortlaufende Drehung des eigentlichen Trägers wird dabei nicht dargestellt.
+</indepth>
+
+Diese Darstellung werden wir in den folgenden Abschnitten immer wieder verwenden: Mit ihr lassen sich die möglichen Symbole digitaler Modulationsverfahren übersichtlich darstellen und später auch die Zuordnung von Bitkombinationen zu diesen Symbolen beschreiben.

contents/sections/mapping.md

@@ -1,40 +1,37 @@
-Im Rahmen der digitalen Signalverarbeitung beschreibt das *Mapping* den Schritt, bei dem digitale Daten in spezifische Signalpunkte (Symbole) umgewandelt werden, die über das Übertragungssystem gesendet werden können. Dies ist ein entscheidender Prozess in der Modulation, insbesondere bei Quadraturamplitudenmodulationen (QAM) und Phasenumtastungen wie QPSK (Quadrature Phase Shift Keying).
-
-Um die Symbole zu visualisieren, verwenden wir ein *Konstellationsdiagramm* wie in Abbildung [ref:a_konstellation], das die möglichen Signalpunkte in einem zweidimensionalen Raum darstellt. Man bezeichnet die Achsen oft als In-Phase (I) und Quadrature (Q). Jeder Punkt im Diagramm repräsentiert eine bestimmte Amplitude und Phase, die durch das Mapping einer bestimmten Bitkombination zugeordnet ist, wie in Abbildung [ref:a_qpsk] dargestellt.
+Bei digitalen Übertragungsverfahren müssen die zu übertragenden Bits den verschiedenen möglichen Symbolen zugeordnet werden. Diese Zuordnung wird als *Mapping* bezeichnet. Der Baustein, der diese Zuordnung vornimmt, wird als *Mapper* bezeichnet. Das Blocksymbol eines Mappers ist in Abbildung [ref:a_mapper] dargestellt. Der Mapper nimmt einen digitalen Bitstrom entgegen und ordnet die enthaltenen Bitkombinationen den entsprechenden Symbolen in einem Konstellationsdiagramm zu.
 
 <margin>
-[picture:1060:a_konstellation:Konstellationsdiagramm]
+[picture:1102:a_mapper:Blockschaltbild eines Mappers]
 </margin>
 
 ---
 
-Schauen wir uns im ersten Schritt QPSK in Abbildung [ref:a_qpsk] an: Bei QPSK werden jeweils zwei Bits zu einem Symbol zusammengefasst. Da wir zwei Bits pro Symbol haben, ergeben sich vier mögliche Kombinationen ($\num{00}$, $\num{01}$, $\num{10}$, $\num{11}$). Jede dieser Kombinationen wird einem spezifischen Signalpunkt zugeordnet, der durch eine bestimmte Phase repräsentiert wird.
+Um das Prinzip des Mappings kennenzulernen, betrachten wir zunächst die bereits aus Klasse E bekannte *Amplitudenumtastung* (*Amplitude-Shift Keying*, ASK). Die Abbildung [ref:a_ask] zeigt eine binäre ASK in der Zeitdarstellung. Dabei wird die Amplitude des Trägersignals zwischen zwei Werten umgeschaltet. Beispielsweise kann eine große Amplitude das Bit $1$ und eine kleine Amplitude das Bit $0$ darstellen.
 
 <margin>
-[picture:1059:a_qpsk:I-Q-Diagramm für ein QPSK-Mapping]
+[picture:700:a_ask:ASK (Amplitude-Shift Keying) im zeitlichen Verlauf]
 </margin>
 
 ---
 
-Bei QPSK hat jedes Symbol eine eigene Phase. Die Phasen werden typischerweise in $\qty{90}{\degree}$-Schritten definiert und auf die vier möglichen Bitkombinationen gemapped, zum Beispiel:
+Die beiden möglichen Symbole lassen sich auch in dem zuvor kennengelernten Konstellationsdiagramm darstellen. Da sich bei diesem Beispiel nur die Amplitude ändert und die Phasenlage gleich bleibt, liegen beide Signalpunkte auf der I-Achse. Der unterschiedliche Abstand vom Ursprung entspricht den beiden unterschiedlichen Amplituden. Jedem der beiden Signalpunkte wird nun über das Mapping ein Bitwert zugeordnet.
 
-- $\num{11}$ entspricht $\qty{45}{\degree}$
-- $\num{01}$ entspricht $\qty{135}{\degree}$
-- $\num{00}$ entspricht $\qty{225}{\degree}$
-- $\num{10}$ entspricht $\qty{315}{\degree}$
-
-Die Amplitude der Signale bleibt dabei konstant, und die Information wird ausschließlich durch die Phasenlage übertragen. Deshalb liegen die vier Punkte im Konstellationsdiagramm für QPSK auf einem Kreis. 
-
-<indepth>
-Genau genommen gibt es aber auch noch andere Möglichkeiten, die Phasen den Bitkombinationen zuzuordnen, solange sie eindeutig sind. Das hier gezeigte Mapping ist nur ein Beispiel. In dem hier gezeigten Beispiel wurden die Zuordnungen so gewählt, dass sich zwischen benachbarten Symbolen nur wenige Bits ändern. Das hat den Vorteil, dass unter Rauscheinfluss nur wenige Bitfehler entstehen. Dafür wird der Gray-Code verwendet, der in den meisten digitalen Übertragungsverfahren Anwendung findet.
-</indepth>
+<margin>
+[picture:1128:a_ask_mapping:ASK (Amplitude-Shift Keying) im Konstellationsdiagramm]
+</margin>
 
 ---
 
-Jeder dieser Punkte repräsentiert ein Symbol. Der Empfänger kann anhand der Phasenlage bestimmen, welche Bitkombination gesendet wurde. Das Konstellationsdiagramm bei QPSK zeigt vier Signalpunkte im rechten Winkel zueinander, die den vier verwendeten Phasen entsprechen. Die große Trennung zwischen den einzelnen Phasen ermöglicht eine zuverlässige Decodierung auch unter rauschbehafteten Bedingungen.
+Eine Amplitudenumtastung ist nicht auf zwei mögliche Amplituden beschränkt. Werden beispielsweise vier unterschiedliche Amplituden verwendet, stehen vier verschiedene Symbole zur Verfügung. Da sich mit zwei Bits vier unterschiedliche Bitkombinationen bilden lassen, kann jedem Symbol eine der Kombinationen $00$, $01$, $10$ oder $11$ zugeordnet werden.
 
-Ändert man neben der Phase auch die Amplitude, so spricht man von einer Quadraturamplitudenmodulation (QAM). Bei QAM werden sowohl die Amplitude als auch die Phase variiert, um mehr Bits pro Symbol zu übertragen. Zum Beispiel kann bei 16-QAM jedes Symbol vier Bits repräsentieren, was zu 16 möglichen Signalpunkten im Konstellationsdiagramm führt. Ein Beispiel für ein 16-QAM-Mapping ist in Abbildung [ref:a_qam] dargestellt.
+Die Abbildung [ref:a_4_ask] zeigt eine solche *4ASK* mit vier unterschiedlichen Amplituden in der Zeitdarstellung. Beispielsweise können $\qty{25}{\percent}$, $\qty{50}{\percent}$, $\qty{75}{\percent}$ und $\qty{100}{\percent}$ der maximalen Amplitude verwendet werden. Mit jedem Symbol können dadurch zwei Bits übertragen werden.
 
 <margin>
-[picture:1061:a_qam:I-Q-Diagramm für ein 16-QAM-Mapping]
-</margin>
+[picture:701:a_4_ask:Quaternäre Amplitudenumtastung (Quaternary Amplitude-Shift Keying)]
+</margin>
+
+Auch im Konstellationsdiagramm sind nun vier mögliche Signalpunkte vorhanden. Da sich weiterhin nur die Amplitude ändert, liegen in diesem Beispiel alle vier Punkte auf der I-Achse. Jedem Punkt ist eine bestimmte Bitkombination zugeordnet.
+
+<margin>
+[picture:1129:a_4_ask_mapping:Quaternäre Amplitudenumtastung (Quaternary Amplitude-Shift Keying) im Konstellationsdiagramm]
+</margin>

contents/sections/mehrwertige_verfahren.md

@@ -1,24 +0,0 @@
-Viele digitale Modulationsverfahren verwenden mehr als zwei Symbole. Anstelle von nur zwei Amplituden (klein und groß) funktioniert Amplitudenumtastung auch mit vier oder noch mehr unterschiedlichen Amplituden, also beispielsweise $\qty{25}{\percent}$, $\qty{50}{\percent}$, $\qty{75}{\percent}$, $\qty{100}{\percent}$ des Maximums. So lassen sich zwei oder mehr Bits zu einem Symbol zusammenfassen und gleichzeitig übertragen.
-
-[picture:701:4ask:Quaternäre Amplitudenumtastung (Quaternary Amplitude-shift Keying)]
-
-Dieses Prinzip lässt sich auch wieder auf die Frequenz- und Phasenumtastung übertragen. Eine einfache Phasenumtastung (Binary Phase-Shift Keying, BPSK) verwendet nur zwei verschiedene Phasenlagen und kann daher nur ein Bit gleichzeitig senden. Die Quadraturphasenumtastung (Quadrature Phase-Shift Keying, QPSK) hingegen nutzt schon vier verschiedene Phasenlagen ($\qty{0}{\degree}$, $\qty{90}{\degree}$, $\qty{180}{\degree}$ und $\qty{270}{\degree}$). QPSK überträgt somit zwei Bits in jedem Schritt.
-
-[question:AE402]
-
-Da bei Verfahren wie QPSK mehr als ein Bit pro Symbol übertragen wird, müssen wir mit den Einheiten aufpassen. Während wir in Hinblick auf den Datenstrom von einer Datenrate in $\unit{\bit\per\second}$ sprechen, wird die Rate der Abfolge unterschiedlicher Symbole in Symbolen pro Sekunde mit der Einheit Baud notiert.
-
-[question:AA104]
-
-Werden nur zwei Symbole verwendet und somit jedes Bit einzeln gesendet, entspricht die Symbolrate in Baud ($\unit{\baud}$) der Datenrate in Bit pro Sekunde ($\unit{\bit\per\second}$). Werden jedoch mehr Symbole verwendet und somit mehrere Bits gleichzeitig übertragen, ist die Datenrate höher als die Symbolrate. Für den Zusammenhang gilt, dass die Datenrate in $\unit{\bit\per\second}$ gleich der Symbolrate in $\unit{\baud}$ multipliziert mit der Anzahl der pro Symbol übertragenen Bits ist:
-
-$C=R_\mathrm{S}\cdot n$
-
-$C$ Datenübertragungsrate in $\unit{\bit\per\second}$
-
-$R_\mathrm{S}$ Symbolrate in $\unit{\baud}$
-
-$n$ Symbolgröße in $\unit{\bit\per\text{Symbol}}$
-
-[question:AE405]
-[question:AE406]

contents/sections/ofdm.md

@@ -1,7 +1,6 @@
-
 Es ist auch möglich, einen Datenstrom auf mehrere Träger zu verteilen, die auf unterschiedlichen, jedoch nahegelegenen Frequenzen liegen. Die Träger können allerdings nicht beliebig dicht nebeneinander liegen, da sie aufgrund der zwangsläufig entstehenden Seitenbänder eine gewisse Breite aufweisen.
 
-Bei der orthogonalen Frequenzmodulation (Orthogonal Frequency-Division Multiplexing, OFDM) werden nun die einzelnen Träger in genau dem Abstand platziert, wo ein gegenseitiges Stören untereinander (ein sogenanntes "Übersprechen") möglichst vermieden wird.
+Beim orthogonalen Frequenzmultiplexverfahren, (Orthogonal Frequency-Division Multiplexing, OFDM) werden nun die einzelnen Träger in genau dem Abstand platziert, wo ein gegenseitiges Stören untereinander (ein sogenanntes "Übersprechen") möglichst vermieden wird.
 
 Je höher die Symbolrate pro Träger ist, umso größer muss der Abstand der Träger gewählt werden. Aus diesem Grunde wählt man oft eine kleinere Symbolrate für jeden einzelnen Träger, damit entsprechend mehr Träger Platz finden. Die übertragene Informationsmenge bleibt hierbei gleich, denn obwohl pro Träger weniger Information übertragen werden kann, können mehr Träger nebeneinander verwendet werden.
 

contents/sections/psk.md

@@ -1,33 +1,72 @@
-Die Phasenumtastung (Phase Shift Keying, PSK) ist ein digitales Modulationsverfahren, das zur Übertragung von Daten in der Telekommunikation und im Amateurfunk genutzt wird. PSK basiert auf der Veränderung der Phase eines Trägersignals, um verschiedene Datenzustände zu repräsentieren. Im Vergleich zu Amplituden- oder Frequenzmodulation ist PSK weniger anfällig für Amplitudenrauschen und kann bei gleicher Bandbreite eine höhere Datenrate erreichen.
+Bei der Phasenumtastung (Phase-Shift Keying, PSK) werden die verschiedenen Symbole durch unterschiedliche Phasenlagen eines Trägers dargestellt. Die Amplitude und die Frequenz des Trägers bleiben dabei gleich. Beim Wechsel von einem Symbol zum nächsten kann sich dagegen die Phasenlage ändern.
 
-[picture:705:psk:Phasenumtastung (Phase-shift Keying)]
+Die Abbildung [ref:a_psk] zeigt ein PSK-Signal im zeitlichen Verlauf. An den Symbolgrenzen erkennt man, dass die Schwingung mit einer anderen Phasenlage fortgesetzt wird.
 
-Prinzip der Phasenumtastung (PSK)
+<margin>
+[picture:705:a_psk:Phasenumtastung (Phase-Shift Keying)]
+</margin>
 
-In der einfachsten Form, dem **BPSK (Binary Phase Shift Keying)**, gibt es zwei Phasenwinkel, z. B. $\qty{0}{\degree}$ und $\qty{180}{\degree}$. Jeder Phasenwinkel repräsentiert einen Bitwert ($\num{0}$ oder $\num{1}$). Bei einem Wechsel der Bitwerte verändert sich die Phase des Trägers um $\qty{180}{\degree}$.
+---
 
-Für höhere Datenraten gibt es Varianten wie **QPSK (Quadrature Phase Shift Keying)** und **8-PSK**, bei denen vier bzw. acht Phasenlagen verwendet werden, um mehrere Bits pro Symbol zu übertragen:
-- **QPSK**: Verwendet vier Phasen ($\qty{0}{\degree}$, $\qty{90}{\degree}$, $\qty{180}{\degree}$ und $\qty{270}{\degree}$), um jeweils zwei Bits pro Symbol zu kodieren.
-- **8-PSK**: Verwendet acht Phasen, um drei Bits pro Symbol zu kodieren.
+Die einfachste Form ist die binäre Phasenumtastung (Binary Phase-Shift Keying, BPSK). Dabei stehen zwei verschiedene Phasenlagen und damit zwei mögliche Symbole zur Verfügung. Beispielsweise können die Phasenlagen $\qty{0}{\degree}$ und $\qty{180}{\degree}$ verwendet und den Bitwerten $0$ und $1$ zugeordnet werden. Die Abbildung [ref:a_psk_mapping] zeigt ein mögliches Mapping der beiden Bitwerte auf die beiden BPSK-Symbole.
 
-Signale in der Zeitdarstellung
+Da sich die beiden Symbole nur durch ihre Phasenlage unterscheiden und ihre Amplitude gleich ist, liegen die beiden Punkte im Konstellationsdiagramm gegenüberliegend auf einem Kreis.
 
-In der Zeitdarstellung eines PSK-Signals zeigt sich die Phasenumtastung als abrupter Wechsel im Phasenwinkel des Trägersignals, während die Amplitude konstant bleibt. Dies ist ein deutlicher Unterschied zur Amplituden- oder Frequenzmodulation, da die Höhe und Frequenz des Signals gleichbleiben, nur die Phase ändert sich bei jedem Symbolwechsel.
+<margin>
+[picture:1101:a_psk_mapping:BPSK im Konstellationsdiagramm]
+</margin>
 
-Beispiel: BPSK in der Zeitdarstellung
-- Bei BPSK ist das Signal in zwei Phasen gespalten: z. B. positive Amplitude für eine Phase ($\qty{0}{\degree}$) und negative Amplitude für die entgegengesetzte Phase ($\qty{180}{\degree}$).
-- In einem Zeit-Diagramm sieht man daher bei jedem Bitwechsel einen Sprung des Signals, z. B. von positiv nach negativ oder umgekehrt.
+<indepth>
+Spitzfindigkeit: Genaugenommen kann BPSK mit den Winkeln $\qty{0}{\degree}$ und $\qty{180}{\degree}$ auch als ein ASK-Verfahren betrachtet werden, bei dem die Amplitude des Trägersignals zwischen einem negativen und einem positiven Wert umgeschaltet wird. Eine Multiplikation mit $-1$ resultiert bei einem Sinus-Signal zu einer Phasenverschiebung um $\qty{180}{\degree}$:
 
-Beispiel: QPSK in der Zeitdarstellung
-- Hier sieht man vier verschiedene Phasenwinkel. Die Übergänge können ebenfalls abrupt sein, aber die Amplitude ändert sich nicht.
-- Da hier mehrere Phasenwinkel verwendet werden, sind die Phasensprünge kleiner, und die Kurve hat einen etwas „geglätteten“ Verlauf im Vergleich zu BPSK.
+$-\sin(\omega t)=\sin(\omega t+\qty{180}{\degree})$
 
-Wie die Signale zu erkennen sind
+Dies ist ein Spezialfall. Es wären übrigens auch andere Phasenwinkel wie z. B. $\qty{90}{\degree}$ und $\qty{270}{\degree}$ möglich, deren beide Symbolphasen ebenfalls um $\qty{180}{\degree}$ voneinander getrennt wären.
+</indepth>
 
-In einem Oszilloskop- oder Phasen-Diagramm sind die Phasenübergänge sichtbar:
-- **Im Zeitbereich**: Ein abruptes Umkippen der Signalphase (positiv zu negativ oder zwischen verschiedenen Phasenlagen).
-- **Im Phasendiagramm** (oft als Constellation Diagram angezeigt): Jeder Phasenwinkel ist als Punkt auf einem Kreis dargestellt, der für die verschiedenen Zustände (Bits) steht. Bei einem sauberen Signal bleiben die Punkte stabil auf festen Positionen.
+[question:AE401]
 
-PSK ist besonders nützlich in der digitalen Kommunikation, da es hohe Datenraten bei vergleichsweise robuster Übertragung erlaubt. Die Veränderung der Phase bei gleichbleibender Amplitude hilft, das Signal auch bei Rauschen und Interferenzen besser zu erkennen und damit eine stabilere Übertragung zu ermöglichen.
+---
 
-[question:AE401]
+Mit mehr als zwei unterschiedlichen Phasenlagen können entsprechend mehr Symbole dargestellt werden. Dadurch lassen sich mehrere Bits zu einem Symbol zusammenfassen.
+
+---
+
+Bei der Quadraturphasenumtastung (Quadrature Phase-Shift Keying, QPSK) stehen vier unterschiedliche Phasenlagen und damit vier mögliche Symbole zur Verfügung. Da es vier mögliche Bitkombinationen aus zwei Bits gibt, können mit jedem Symbol zwei Bits übertragen werden.
+
+Zum Vergleich:
+
+* BPSK: $\num{2}$ Symbole → $\num{1}$ Bit pro Symbol
+* QPSK: $\num{4}$ Symbole → $\num{2}$ Bit pro Symbol
+* 8-PSK: $\num{8}$ Symbole → $\num{3}$ Bit pro Symbol
+
+[question:AE402]
+
+Schauen wir uns QPSK nun im Konstellationsdiagramm an. Die vier möglichen Symbole besitzen die gleiche Amplitude, unterscheiden sich aber durch ihre Phasenlage. Deshalb liegen alle vier Signalpunkte auf einem Kreis. Die Abbildung [ref:a_qpsk] zeigt ein mögliches Mapping der vier Bitkombinationen $00$, $01$, $10$ und $11$ auf die vier QPSK-Symbole.
+
+<margin>
+[picture:1059:a_qpsk:I/Q-Diagramm für ein QPSK-Mapping]
+</margin>
+
+---
+
+In diesem Beispiel werden folgende Phasenlagen verwendet:
+
+* $11$ entspricht $\qty{45}{\degree}$
+* $01$ entspricht $\qty{135}{\degree}$
+* $00$ entspricht $\qty{225}{\degree}$
+* $10$ entspricht $\qty{315}{\degree}$
+
+<margin>
+Das folgende Applet veranschaulicht die digitale QPSK-Modulation. In einem echten System wird das Signal durch Rauschen und andere Störungen beeinflusst. Dadurch liegen die empfangenen Signalpunkte nicht exakt auf den idealen Positionen, sondern weichen sowohl in ihrer Amplitude als auch in ihrer Phase davon ab. Das Applet simuliert dies, indem es Rauschen hinzufügt. Die Kreuze markieren die vier idealen QPSK-Symbole. Jeder farbige Punkt ist ein verrauschter Empfangswert. Der Empfänger ordnet ihn dem nächstgelegenen Symbol zu. Die farbig hinterlegten Bereiche sind die Entscheidungsbereiche des Empfängers. Solange ein verrauschter Empfangswert im Bereich des ursprünglich gesendeten Symbols liegt, wird es richtig erkannt. Überschreitet ein Punkt durch starkes Rauschen eine Grenze zu einem benachbarten Bereich, entscheidet sich der Empfänger für das falsche Symbol. Durch Kanalkodierung können diese Fehler jedoch korrigiert werden. Damit beschäftigen wir uns in einem späteren Abschnitt.
+
+[include:applet_qpsk]
+</margin>
+
+Die vier Phasenlagen sind jeweils um $\qty{90}{\degree}$ gegeneinander versetzt. Der Empfänger kann anhand der erkannten Phasenlage bestimmen, welches Symbol und damit welche Bitkombination übertragen wurde.
+
+Die Zuordnung der Bitkombinationen zu den einzelnen Phasenlagen ist nicht eindeutig festgelegt. Entscheidend ist zunächst nur, dass jedem Symbol eine eindeutige Bitkombination zugeordnet wird.
+
+In der Praxis wird das Mapping häufig so gewählt, dass sich die Bitkombinationen benachbarter Signalpunkte nur in einem Bit unterscheiden. Eine solche Zuordnung wird als *Gray-Code* bezeichnet. Wird durch Rauschen versehentlich ein benachbarter Signalpunkt erkannt, führt dies dadurch häufig nur zu einem einzelnen Bitfehler.
+
+Das Konstellationsdiagramm macht damit einen wesentlichen Unterschied zwischen ASK und PSK unmittelbar sichtbar: Bei ASK unterscheiden sich die Symbole durch ihren Abstand vom Ursprung und liegen in der Regel nur auf der positiven I-Achse, bei PSK dagegen durch ihren Winkel. Bei PSK liegen die Signalpunkte daher bei gleicher Amplitude auf einem Kreis.

contents/sections/qam.md

@@ -1,9 +1,61 @@
+Bisher haben wir ASK und PSK kennengelernt. Es scheint für beide Verfahren zunächst nahezuliegen, die Anzahl der Symbole möglichst groß zu wählen, damit pro Symbol möglichst viele Informationen übertragen werden können. Doch dann muss ein Empfänger z. B. zwischen vielen unterschiedlichen Amplituden unterscheiden können. Somit wird das Verfahren anfälliger für Störungen.
 
-Es scheint zunächst nahezuliegen, die Anzahl der Symbole möglichst groß zu wählen, damit pro Symbol möglichst viele Informationen übertragen werden können. Doch dann muss ein Empfänger z. B. zwischen vielen unterschiedlichen Amplituden unterscheiden können. Somit wird das Verfahren anfälliger für Störungen.
+Um dieses Problem zu mildern, kann man auf einen Trick zurückgreifen: Anstelle der Änderung nur eines Parameters (z. B. der Amplitude) werden pro Symbol zwei Parameter verändert, nämlich die Amplitude und die Phase. Ein Symbol entspricht dann einer Kombination einer bestimmten Amplitude mit einer bestimmten Phasenlage. So ergibt sich trotz kleiner Anzahl unterschiedlicher Amplituden und Phasenlagen dennoch eine größere Anzahl an Symbolen. Bei gleicher Symbolrate können somit mehr Bits pro Sekunde übertragen werden. Dieses Verfahren wird *Quadraturamplitudenmodulation* (QAM) genannt.
 
-Um dieses Problem zu mildern, kann man auf einen Trick zurückgreifen: Anstelle der Änderung nur eines Parameters (z. B. der Amplitude) werden pro Symbol zwei Parameter verändert, nämlich die Amplitude und die Phase. Ein Symbol entspricht dann einer Kombination einer bestimmten Amplitude mit einer bestimmten Phasenlage. So ergibt sich trotz kleiner Anzahl unterschiedlicher Amplituden und Phasenlagen dennoch eine größere Anzahl an Symbolen. Es werden mehr Bits pro Symbol übertragen. Die Datenübertragung erfolgt somit schneller. Dieses Verfahren wird Quadraturamplitudenmodulation (QAM) oder manchmal auch einfach nur Quadraturmodulation genannt.
+Die Abbildung [ref:a_8qam] zeigt ein 8QAM-Signal im zeitlichen Verlauf. Jedes Symbol besitzt eine bestimmte Amplitude, eine bestimmte Phasenlage und eine 3-stellige Bitfolge, die durch das Mapping festgelegt ist. Mit jedem Symbol können somit drei Bits übertragen werden. Die Abbildung [ref:a_16qam] zeigt ein 16QAM-Mapping im Konstellationsdiagramm. Jedes Symbol entspricht einer Kombination aus einer bestimmten Amplitude und einer bestimmten Phasenlage. Mit jedem Symbol können somit vier Bits übertragen werden.
 
-[picture:702:8qam:Signalverlauf eines 8QAM-Signals, je Symbol mit Amplitude ($\num{0,5}$ bzw. $\num{1}$), Phasenlage und 3-stelliger Bitfolge]
+<margin>
+[picture:702:a_8qam:Signalverlauf eines 8QAM-Signals, je Symbol mit Amplitude ($\num{0,5}$ bzw. $\num{1}$), Phasenlage und 3-stelliger Bitfolge]
+[picture:1061:a_16qam:I-Q-Diagramm für ein 16-QAM-Mapping]
+</margin>
 
 [question:AE403]
 
+---
+
+Nachdem wir die I/Q-Darstellung, das Konstellationsdiagramm und die Quadraturamplitudenmodulation kennengelernt haben, stellt sich die Frage, wie ein solches Signal technisch erzeugt werden kann. Dazu kann ein sogenannter *I/Q-Modulator* verwendet werden.
+
+Ein I/Q-Modulator arbeitet mit zwei Trägern gleicher Frequenz, die um $\qty{90}{\degree}$ gegeneinander phasenverschoben sind. Der erste Träger wird mit dem I-Signal und der um $\qty{90}{\degree}$ phasenverschobene Träger mit dem Q-Signal gewichtet. Abbildung [ref:a_iq_modulator] zeigt das Blockschaltbild eines I/Q-Modulators.
+
+Anschließend werden die beiden modulierten Träger addiert. Je nachdem, welche Werte I und Q besitzen, entsteht dadurch ein Signal mit einer bestimmten Amplitude und Phasenlage. Werden die Werte von I und Q verändert, kann sich somit sowohl die Amplitude als auch die Phase des resultierenden Signals ändern.
+
+<margin>
+[picture:196:a_iq_modulator:Blockschaltbild eines I/Q-Modulators]
+</margin>
+
+<webonly>
+<indepth>
+Das Ganze lässt sich leicht mathematisch beschreiben. Für die Summe eines Cosinus-Trägers mit einem anderen, um $\qty{90}{\degree}$ phasenverschobenen Cosinus-Träger gilt folgender Zusammenhang:
+
+$ I(t)\cdot \cos\left(\omega t\right) + Q(t)\cdot \cos\left(\omega t + \qty{90}{\degree}\right)=A \cdot \cos\left(\omega t+\phi\right) $
+
+Es entsteht also ein neues Cosinussignal mit einer Amplitude von
+
+$A=\sqrt{I(t)^2 + Q(t)^2}$ 
+
+und einer Phasenverschiebung von 
+
+$ \phi = \operatorname{atan2}\left(Q(t),I(t)\right)$
+
+[include:applet_iq]
+</indepth>
+</webonly>
+
+[question:AF632]
+[question:AE404]
+
+In einem digitalen System können die Werte für I und Q sehr einfach in Software erzeugt werden. Dazu ordnet beispielsweise ein Mikrocontroller, Signalprozessor oder SDR jedem zu übertragenden Symbol zwei Zahlenwerte für I und Q zu. Ein Signalpunkt im Konstellationsdiagramm entspricht somit unmittelbar einem Wertepaar $(I,Q)$.
+
+Bei einer 16-QAM könnten beispielsweise für I und Q jeweils vier unterschiedliche Werte verwendet werden. Durch ihre Kombination entstehen die $\num{16}$ verschiedenen Signalpunkte. Die Software muss für jedes Symbol lediglich die zum gewünschten Signalpunkt gehörenden I- und Q-Werte ausgeben.
+
+Die zunächst digitalen Zahlenwerte für I und Q können anschließend mit zwei DA-Wandlern in analoge Spannungen umgewandelt und dem I/Q-Modulator zugeführt werden. So lässt sich praktisch jeder gewünschte Punkt im Konstellationsdiagramm durch Software erzeugen. Moderne *Software Defined Radios* (SDR) nutzen genau dieses Prinzip: Ein großer Teil der Modulation wird nicht mehr durch fest verdrahtete analoge Schaltungen festgelegt, sondern durch die Berechnung der I- und Q-Signale in Software.
+
+---
+
+Ein I/Q-Modulator ist dabei keineswegs auf digitale Modulationsverfahren wie QPSK oder QAM beschränkt. Anstelle einzelner fester I- und Q-Werte kann die Software auch kontinuierlich veränderliche Signalverläufe für I und Q berechnen. Damit lassen sich auch analoge Modulationsverfahren erzeugen.
+
+Bei einer Amplitudenmodulation wird beispielsweise die Länge des resultierenden Signalzeigers verändert. Bei einer Phasenmodulation wird sein Winkel verändert. Auch bei einer Frequenzmodulation wird die Phase des Signalzeigers kontinuierlich verändert, wobei die Geschwindigkeit dieser Phasenänderung die momentane Frequenz bestimmt. Mit zwei passend erzeugten I- und Q-Signalen lässt sich außerdem ein Einseitenbandsignal (SSB) erzeugen.
+
+Mit demselben I/Q-Modulator können daher unter anderem AM, FM, PM, SSB, PSK und QAM erzeugt werden. Lediglich die I- und Q-Signale müssen jeweils anders berechnet werden. 
+
+Der I/Q-Modulator ist damit gewissermaßen das "Schweizer Taschenmesser der Modulatoren". Dies ist zugleich ein wesentlicher Grund für die große Flexibilität moderner SDR-Technik: Das verwendete Modulationsverfahren wird zu einem großen Teil durch Software bestimmt, während die Hochfrequenzhardware weitgehend unverändert bleiben kann.

contents/sections/sende_empfangsketten.md

@@ -1,10 +1,10 @@
-Im folgenden Abschnitt werden die einzelnen Schritte einer Sende- und Empfangskette beschrieben. Die Abbildung [ref:a_sdr_sender] zeigt beispielhaft einen SDR-Sender für die Sprachkommunikation. Im ersten Schritt wird das Mikrofonsignal durch einen A/D-Umsetzer digitalisiert. Das digitale Signal wird anschließend durch einen Quellencodierer komprimiert, um die benötigte Bandbreite zu reduzieren. Im darauffolgenden Schritt versieht ein Kanalcodierer das komprimierte Signal gezielt mit Redundanz, sodass Übertragungsfehler erkannt und korrigiert werden können. Die codierten Daten werden schließlich durch einen Mapper in Symbole umgewandelt und anschließend durch einen I/Q-Modulator moduliert, auf den in einem späteren Kapitel noch näher eingegangen wird. Den Abschluss der Sendekette bilden ein Leistungsverstärker sowie die Antenne, über die das Signal abgestrahlt wird.
+Im folgenden Abschnitt werden die einzelnen Schritte einer Sende- und Empfangskette beschrieben. Die Abbildung [ref:a_sdr_sender] zeigt beispielhaft einen SDR-Sender für die Sprachkommunikation. Im ersten Schritt wird das Mikrofonsignal durch einen A/D-Umsetzer digitalisiert. Das digitale Signal wird anschließend durch einen Quellencodierer komprimiert, um die benötigte Bandbreite zu reduzieren. Im darauffolgenden Schritt versieht ein Kanalcodierer das komprimierte Signal gezielt mit Redundanz, sodass Übertragungsfehler erkannt und korrigiert werden können. Die codierten Daten werden schließlich durch einen Mapper in Symbole umgewandelt und anschließend durch einen I/Q-Modulator moduliert. Den Abschluss der Sendekette bilden ein Leistungsverstärker sowie die Antenne, über die das Signal abgestrahlt wird.
 
 <margin>
 [picture:1062:a_sdr_sender:SDR Sender für Sprachkommunikation]
 </margin>
 
-Die in blau hervorgehobenen Blöcke in Abbildung [ref:a_sender] repräsentieren die Signalverarbeitungsschritte, die beispielsweise rein softwarebasiert oder mithilfe eines FPGAs implementiert werden können. Die Reihenfolge dieser Verarbeitungsschritte ist für einen Sender stets wie folgt und sollte für Prüfungsfragen gut eingeprägt werden:
+Die in blau hervorgehobenen Blöcke in Abbildung [ref:a_sdr_sender] repräsentieren die Signalverarbeitungsschritte, die beispielsweise rein softwarebasiert oder mithilfe eines FPGAs implementiert werden können. Die Reihenfolge dieser Verarbeitungsschritte ist für einen Sender stets wie folgt und sollte für Prüfungsfragen gut eingeprägt werden:
 
 1. Quellencodierer: Daten komprimieren
 2. Kanalcodierer: Hinzufügen von Redundanz zur Fehlererkennung und -korrektur

contents/sections/symbole_symbolrate.md

@@ -0,0 +1,41 @@
+Bei digitalen Übertragungen werden Informationen in Form von Symbolen übertragen. Ein Symbol ist dabei ein unterscheidbarer Signalzustand, der für eine bestimmte Zeit übertragen wird. Diese Signalzustände können sich beispielsweise durch unterschiedliche Amplituden, Frequenzen oder Phasen beziehungsweise durch Kombinationen dieser Eigenschaften unterscheiden. Wie solche Symbole erzeugt werden, betrachten wir in den folgenden Abschnitten. Je nachdem, wie viele unterschiedliche Symbole ein Übertragungsverfahren verwenden kann, kann ein einzelnes Symbol ein oder mehrere Bits an Information enthalten.
+
+Stehen nur zwei unterschiedliche Symbole zur Verfügung, kann mit jedem Symbol genau ein Bit übertragen werden. Bei vier möglichen Symbolen können bereits zwei Bit mit einem Symbol übertragen werden, da sich mit zwei Bit vier verschiedene Kombinationen darstellen lassen. Entsprechend können acht unterschiedliche Symbole drei Bit und $\num{16}$ unterschiedliche Symbole vier Bit gleichzeitig übertragen.
+
+Allgemein ergibt sich die Anzahl $N$ der mit einem Symbol übertragbaren Bits aus der Anzahl $M=2^N$ der möglichen Symbole:
+
+$N = \log_2(M)$
+
+Die *Symbolrate* gibt an, wie viele Symbole pro Sekunde übertragen werden. Ihre Einheit ist *Baud*. Eine Symbolrate von $\qty{1000}{\baud}$ bedeutet also, dass pro Sekunde $\num{1000}$ Symbole übertragen werden.
+
+Die Symbolrate ist nicht zwangsläufig mit der Datenrate identisch. Werden mit jedem Symbol mehrere Bits übertragen, ist die Datenrate entsprechend größer. Für die Datenrate $R_\mathrm{D}$ (mit der Einheit $\unit{\bit\per\second}$) und die Symbolrate $R_\mathrm{S}$ gilt:
+
+$R_\mathrm{D} = R_\mathrm{S} \cdot N$
+
+Werden beispielsweise bei einer Symbolrate von $\qty{1200}{\baud}$ mit jedem Symbol zwei Bit übertragen, ergibt sich eine Datenrate von:
+
+$R_\mathrm{D} = \qty{1200}{\baud} \cdot 2 = \qty{2400}{\bit\per\second}$
+
+Die Anzahl der möglichen Symbole und die Symbolrate sind damit wichtige Größen für digitale Übertragungsverfahren. Wie sich die einzelnen Symbole durch unterschiedliche Eigenschaften eines Signals darstellen lassen, betrachten wir in den folgenden Abschnitten.
+
+[question:AA104]
+
+---
+
+Ein einfaches Beispiel dafür, wie unterschiedliche Symbole durch verschiedene Signalzustände dargestellt werden können, ist die bereits aus Klasse E bekannte *Frequenzumtastung* (*Frequency-Shift Keying*, FSK).
+
+Bei FSK wird die Frequenz des ausgesendeten Signals zwischen verschiedenen Werten umgeschaltet. Die Abbildung [ref:a_fsk] zeigt eine binäre FSK mit zwei möglichen Symbolfrequenzen in der Zeitdarstellung. Beispielsweise kann die höhere Frequenz für das Symbol $1$ und die niedrigere Frequenz für das Symbol $0$ stehen. Da zwei verschiedene Symbole zur Verfügung stehen, kann mit jedem Symbol ein Bit übertragen werden.
+
+<margin>
+[picture:703:a_fsk:FSK (Frequency-Shift Keying)]
+</margin>
+
+Ein Beispiel ist *RTTY*. Hier wird zwischen zwei Symbolfrequenzen umgetastet, beispielsweise zwischen $\qty{14072,43}{\kilo\hertz}$ und $\qty{14072,60}{\kilo\hertz}$. Mit jedem Symbol kann damit ein Bit, also $0$ oder $1$, übertragen werden.
+
+[question:AE405]
+
+FSK ist jedoch nicht auf zwei Symbolfrequenzen beschränkt. Werden beispielsweise vier unterschiedliche Frequenzen verwendet, stehen vier verschiedene Symbole zur Verfügung. Jedem Symbol kann dann eine der vier möglichen Bitkombinationen $00$, $01$, $10$ oder $11$ zugeordnet werden. Dadurch können mit jedem Symbol zwei Bit übertragen werden.
+
+Ein Beispiel dafür ist das Übertragungsverfahren *FT4*. Hier kann zwischen vier Symbolfrequenzen umgetastet werden, beispielsweise $\qty{14081,20}{\kilo\hertz}$, $\qty{14081,40}{\kilo\hertz}$, $\qty{14081,61}{\kilo\hertz}$ und $\qty{14081,83}{\kilo\hertz}$.
+
+[question:AE406]