refactor: anti-aliasing and reconstruction filter

summarized both topics in one chapter

contents/sections/anti_alias_filter.md

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-%%% TODO diese beiden textblöcke müssen verbunden werden. 
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-Wie zuvor schon kurz angesprochen, muss vor dem A/D-Umsetzer ein entsprechendes Filter zur Unterdrückung von Signalanteilen höherer Frequenzen eingefügt werden. Man nennt ein solches Filter auch Antialiasingfilter. Als Filtertypen können hier sowohl Tiefpassfilter als auch Bandpassfilter Anwendung finden. Das Filter muss hierbei so beschaffen sein, dass Signalanteile, die sich oberhalb der halben Sampling-Frequenz befinden, wirksam unterdrückt werden. Wir erinnern uns, dass für die Abtastung eines Signals mehr als die doppelte Abtastfrequenz der zu erfassenden Signalfrequenz erforderlich ist.
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-[question:AF622]
-[question:AF623]
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-Aus der Lektion zum Abtasttheorem wissen wir, dass ein Signal mit einer ausreichend hohen Abtastrate abgetastet werden muss. Über eine Antenne empfangen wir jedoch in der Regel viele unterschiedliche Signale – auch solche mit Frequenzen oberhalb des Frequenzbereichs, den wir eigentlich verarbeiten wollen.
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-Treffen solche Signale auf den A/D-Umsetzer, obwohl seine Abtastrate für diese Frequenzen nicht ausreichend ist, können sie als andere, nicht tatsächlich vorhandene Frequenzen im digitalen Signal erscheinen. Diese werden als *Aliase* bezeichnet.
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-Um dies zu verhindern, wird vor dem Eingang des A/D-Umsetzers ein *Antialiasing-Filter* eingesetzt. Dabei handelt es sich in der Regel um einen Tiefpass- oder Bandpassfilter, der unerwünschte Frequenzen unterdrückt, bevor das Signal den A/D-Umsetzer erreicht.
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-Der A/D-Umsetzer benötigt außerdem einen Taktgenerator, den man auch als Abtastratengenerator bezeichnet. Dieser legt fest, zu welchen Zeitpunkten das Eingangssignal abgetastet wird. Der A/D-Umsetzer erzeugt daraus einen digitalen Datenstrom, der anschließend von weiteren Teilen der Schaltung verarbeitet werden kann. Die Taktrate kann fest eingestellt sein oder beispielsweise durch einen Mikrocontroller gesteuert werden.
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-[question:AF620]

contents/sections/anti_alias_rekonstruktionsfilter.md

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+Bei der A/D- und D/A-Umsetzung werden analoge und digitale Signalverarbeitung miteinander verbunden. Dabei werden sowohl vor dem A/D-Umsetzer als auch nach dem D/A-Umsetzer analoge Filter benötigt. Die Abbildung [ref:a_adc_dac_filter] zeigt die gesamte Signalkette. Auf der Eingangsseite befindet sich vor dem A/D-Umsetzer ein *Anti-Aliasing-Filter*. Es begrenzt den Frequenzbereich des analogen Eingangssignals, bevor dieses abgetastet wird. Nach der digitalen Signalverarbeitung erzeugt der D/A-Umsetzer wieder ein analoges Signal. Ein nachgeschaltetes *Rekonstruktionsfilter* entfernt dabei unerwünschte hochfrequente Signalanteile. Warum beide Filter benötigt werden, betrachten wir in dem folgenden Abschnitt.
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+[picture:1131:a_adc_dac_filter:A/D- und D/A-Umsetzung mit Anti-Aliasing- und Rekonstruktionsfilter]
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+Aus der Lektion zum Abtasttheorem wissen wir, dass ein Signal mit einer ausreichend hohen Abtastrate abgetastet werden muss. Für ein Signal mit der höchsten zu erfassenden Frequenz $f_\mathrm{max}$ muss die Abtastrate größer als $2\cdot f_\mathrm{max}$ sein.
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+Über eine Antenne empfangen wir jedoch in der Regel viele unterschiedliche Signale – auch solche mit Frequenzen oberhalb des Frequenzbereichs, den wir eigentlich verarbeiten wollen. Treffen solche Signalanteile auf den A/D-Umsetzer, obwohl dessen Abtastrate für diese Frequenzen nicht ausreichend ist, können sie im digitalen Signal als andere, tatsächlich nicht vorhandene Frequenzen erscheinen. Diese werden als *Aliase* bezeichnet.
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+Um dies zu verhindern, wird vor dem Eingang des A/D-Umsetzers ein *Anti-Aliasing-Filter* eingesetzt. Dabei handelt es sich je nach Anwendung beispielsweise um einen Tiefpass- oder Bandpassfilter. Ein Bandpassfilter könnte z. B. für Sprache verwendet werden. Das Filter muss unerwünschte Signalanteile, die beim Sampling zu Aliasing führen könnten, ausreichend unterdrücken. Insbesondere dürfen Frequenzanteile oberhalb der halben Samplingfrequenz nicht ungehindert zum A/D-Umsetzer gelangen.
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+[question:AF622]
+[question:AF623]
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+<indepth>
+Ein anschauliches Beispiel für *Aliasing* begegnet uns auch im Alltag bei digitalen Bildern. Fotografiert man mit einer Kamera sehr feine, regelmäßig wiederkehrende Strukturen, beispielsweise ein engmaschiges Gitter, einen Stoff mit feinen Streifen oder ein Fliegengitter, können im Bild plötzlich größere Muster entstehen, die im Original gar nicht vorhanden sind. Diese werden als *Moiré-Muster* bezeichnet.
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+Die Ursache ist ähnlich wie beim Abtasten eines elektrischen Signals. Ein Kamerasensor kann ein Bild nicht an beliebig vielen Stellen erfassen, sondern besitzt nur eine endliche Anzahl von Bildpunkten. Ist eine Struktur feiner als die räumliche Auflösung des Sensors, wird sie nicht mehr eindeutig abgetastet. Aus der eigentlich vorhandenen feinen Struktur kann dadurch scheinbar eine andere, gröbere Struktur entstehen.
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+Beim A/D-Umsetzer geschieht das gleiche Prinzip auf der Zeitachse: Wird eine zu hohe Signalfrequenz mit einer zu niedrigen Samplingrate abgetastet, erscheint im digitalisierten Signal eine andere, niedrigere Frequenz, die ursprünglich gar nicht vorhanden war.
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+Ein Moiré-Muster kann daher als sichtbares Beispiel dafür betrachtet werden, wie durch eine unzureichende Abtastung neue, scheinbare Strukturen entstehen.
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+% TODO: Bild besorgen
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+%[picture:XXXX:a_moire:Moiré-Muster als Beispiel für räumliches Aliasing]
+%</margin>
+</indepth>
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+Der A/D-Umsetzer benötigt außerdem einen Taktgenerator, den man auch als Abtastratengenerator bezeichnet. Dieser legt fest, zu welchen Zeitpunkten das Eingangssignal abgetastet wird und bestimmt damit die Samplingrate. Die Taktrate kann fest eingestellt sein oder beispielsweise durch einen Mikrocontroller gesteuert werden.
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+[picture:1132:a_anit_alias:Anti-Aliasing-Filter, A/D-Umsetzer und Taktgenerator]
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+[question:AF620]
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+Auf der anderen Seite der digitalen Signalverarbeitung übernimmt der D/A-Umsetzer den umgekehrten Vorgang. Er setzt die digitalen Samples wieder in analoge Spannungswerte um. Da die einzelnen Werte nur in festen zeitlichen Abständen ausgegeben werden, entsteht am Ausgang des D/A-Umsetzers zunächst kein ideal glatter Signalverlauf.
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+Durch die zeitdiskrete Ausgabe entstehen neben dem gewünschten Nutzsignal auch unerwünschte höherfrequente Signalanteile (Z.B. in Abbildung [ref:a_adc_4bit], die scharfen Kanten des Signals enthalten die hohen Frequenzanteile). Um diese zu unterdrücken, wird hinter dem D/A-Umsetzer ein *Rekonstruktionsfilter* eingesetzt. Auch hierbei kann je nach Anwendung beispielsweise ein Tiefpass- oder Bandpassfilter verwendet werden.
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+Das Rekonstruktionsfilter lässt den gewünschten Nutzfrequenzbereich passieren und unterdrückt die unerwünschten höherfrequenten Signalanteile des D/A-Umsetzers. Dadurch entsteht am Ausgang wieder ein möglichst sauberes analoges Signal (vgl. Abbildung [ref:a_adc_12bit], das Rekonstruktionsfilter glättet das Signal).
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+[question:AF624]
+[question:AF625]
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+[picture:300:a_adc_4bit:Signal vor dem Rekonstruktionsfilter]
+[picture:299:a_adc_12bit:Singnal nach dem Rekonstruktionsfilter]
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contents/sections/rekonstruktionsfilter.md

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-Sehen wir uns nun die Umsetzung von digitalen Signalen (Samples) zurück in analoge Signale durch einen D/A-Umsetzer etwas genauer an. Hierbei werden die digitalen Daten im D/A-Umsetzer in Spannungsstufen zurück übersetzt. Dies geschieht in einem festen zeitlichen Abstand der Samples zueinander. Man nennt diesen Vorgang auch Rekonstruktion.
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-Aufgrund der zeitdiskreten Auflösung durch die begrenzte Sampling-Frequenz eines D/A-Umsetzers entsteht ein stufenförmiges Signal, das unerwünschte, höhere Frequenzen enthält. Um diese unerwünschten Anteile zu entfernen und somit das ursprüngliche Signal wiederherzustellen, benötigen wir ebenso wie am Eingang zum A/D-Umsetzer ein Tiefpass- oder Bandpassfilter. Dieses Rekonstruktionsfilter muss hierbei alle Signalanteile, die sich oberhalb der halben Abtastrate (Samplingfrequenz) befinden, wirksam unterdrücken. 
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-[question:AF624]
-[question:AF625]