refactor: widerstandsnetzwerke 2

contents/solutions/AD106.md

@@ -0,0 +1,28 @@
+Da alle Widerstände gleich groß sind, gilt:
+
+$ R_1 = R_2 = R_3 = \qty{10}{\kilo\ohm} $
+
+Durch $R_3$ fließt ein Strom von:
+
+$ I_{R_3} = \qty{1}{\milli\ampere} $
+
+Da $R_2$ und $R_3$ parallel geschaltet sind und den gleichen Widerstand besitzen, fließt durch $R_2$ ebenfalls:
+
+$ I_{R_2} = \qty{1}{\milli\ampere} $
+
+Der Strom durch $R_1$ ist die Summe beider Teilströme:
+
+$ I_{R_1} = I_{R_2} + I_{R_3} = \qty{1}{\milli\ampere} + \qty{1}{\milli\ampere} = \qty{2}{\milli\ampere} $
+
+Nun wird zuerst der Ersatzwiderstand der Parallelschaltung aus $R_2$ und $R_3$ berechnet:
+
+$ R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{\qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{10}{\kilo\ohm}}
+{\qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{5}{\kilo\ohm} $
+
+Der Gesamtwiderstand der Schaltung beträgt damit:
+
+$ R_\mathrm{ges} = R_1 + R_{23} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{5}{\kilo\ohm} = \qty{15}{\kilo\ohm} $
+
+Mit dem Gesamtstrom ergibt sich die Gesamtspannung:
+
+$ U = I \cdot R = \qty{2}{\milli\ampere} \cdot \qty{15}{\kilo\ohm} = \qty{30}{\volt} $

contents/solutions/AD107.md

@@ -0,0 +1,29 @@
+Gegeben sind:
+
+$ U = \qty{15}{\volt} $
+
+und
+
+$ R_1 = R_2 = R_3 = \qty{10}{\kilo\ohm} $
+
+Zuerst wird der Ersatzwiderstand der Parallelschaltung aus $R_2$ und $R_3$ berechnet:
+
+$ R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} $
+
+Da beide Widerstände gleich groß sind, ergibt sich:
+
+$ R_{23} = \qty{5}{\kilo\ohm} $
+
+Der Gesamtwiderstand der Schaltung beträgt damit:
+
+$ R_\mathrm{ges} = R_1 + R_{23} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{5}{\kilo\ohm} = \qty{15}{\kilo\ohm} $
+
+Nun kann der Gesamtstrom berechnet werden:
+
+$ I_\mathrm{ges} = \frac{U}{R_\mathrm{ges}} = \frac{\qty{15}{\volt}}{\qty{15}{\kilo\ohm}} = \qty{1}{\milli\ampere} $
+
+Dieser Strom fließt zunächst durch $R_1$ und teilt sich danach auf die beiden gleich großen Widerstände $R_2$ und $R_3$ auf.
+
+Da beide Widerstände gleich groß sind, fließt durch jeden Zweig genau die Hälfte des Gesamtstroms:
+
+$ I_3 = \frac{I_\mathrm{ges}}{2} = \frac{\qty{1}{\milli\ampere}}{2} = \qty{0,5}{\milli\ampere} $

contents/solutions/AD108.md

@@ -0,0 +1,37 @@
+Gesucht ist die Leistung am Widerstand $R_2$.
+
+Gegeben sind:
+
+$ U = \qty{15}{\volt} $
+
+und
+
+$ R_1 = R_2 = R_3 = \qty{10}{\kilo\ohm} $
+
+Es ergibt sich für die Parallelschaltung aus $R_2$ und $R_3$:
+
+$ R_{23} = \qty{5}{\kilo\ohm} $
+
+Damit beträgt der Gesamtwiderstand:
+
+$ R_\mathrm{ges} = R_1 + R_{23} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{5}{\kilo\ohm} = \qty{15}{\kilo\ohm} $
+
+Der Gesamtstrom ist somit:
+
+$ I_\mathrm{ges} = \frac{U}{R_\mathrm{ges}} = \frac{\qty{15}{\volt}}{\qty{15}{\kilo\ohm}} = \qty{1}{\milli\ampere} $
+
+Dieser Strom teilt sich gleichmäßig auf $R_2$ und $R_3$ auf:
+
+$ I_{2} = \frac{I_\mathrm{ges}}{2} = \qty{0,5}{\milli\ampere} $
+
+Die Leistung am Widerstand $R_2$ berechnet sich mit:
+
+$ P = I^2 \cdot R $
+
+Also:
+
+$ P_{2} = I_{2}^2 \cdot R_2 $
+
+$ P_{2} = \left(\qty{0,5}{\milli\ampere}\right)^2 \cdot \qty{10}{\kilo\ohm} $
+
+$ P_{2} = \qty{2,5}{\milli\watt} $

contents/solutions/AD109.md

@@ -0,0 +1,32 @@
+Gesucht ist der Bereich des Eingangswiderstands der Schaltung. Der linke Widerstand mit $\qty{200}{\ohm}$ liegt immer in Reihe zur restlichen Schaltung.
+
+Nach diesem Widerstand teilt sich die Schaltung in zwei parallele Zweige auf:
+
+* ein Zweig mit $\qty{100}{\ohm}$
+* ein Zweig mit $\qty{200}{\ohm} + R$
+
+Zunächst betrachten wir den kleinsten Wert. Dazu setzen wir:
+
+$ R = \qty{0}{\ohm} $
+
+Dann liegt $\qty{100}{\ohm}$ parallel zu $\qty{200}{\ohm}$:
+
+$ R_\mathrm{par} = \frac{\qty{100}{\ohm} \cdot \qty{200}{\ohm}}{\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm}} \approx \qty{67}{\ohm} $
+
+Mit dem vorgeschalteten Widerstand ergibt sich:
+
+$ R_\mathrm{cmin} = \qty{200}{\ohm} + \qty{67}{\ohm} = \qty{267}{\ohm} $
+
+Nun betrachten wir den größten Wert. Dazu setzen wir:
+
+$ R = \qty{1}{\kilo\ohm} $
+
+Dann liegt $\qty{100}{\ohm}$ parallel zu $\qty{200}{\ohm} + \qty{1}{\kilo\ohm}$, also parallel zu $\qty{1200}{\ohm}$:
+
+$ R_\mathrm{par} = \frac{\qty{100}{\ohm} \cdot \qty{1200}{\ohm}}{\qty{100}{\ohm} + \qty{1200}{\ohm}} \approx \qty{92}{\ohm} $
+
+Mit dem vorgeschalteten Widerstand ergibt sich:
+
+$ R_\mathrm{max} = \qty{200}{\ohm} + \qty{92}{\ohm} = \qty{292}{\ohm} $
+
+Der Eingangswiderstand liegt also im Bereich von etwa $\qtyrange{267}{292}{\ohm}$.

contents/solutions/AD110.md

@@ -0,0 +1,28 @@
+Die Verbindung in der Mitte sorgt dafür, dass die beiden mittleren Punkte elektrisch identisch sind.
+
+Dadurch liegen:
+
+* $R_1$ und $R_3$ parallel zwischen a und dem Mittelpunkt
+* $R_2$ und $R_4$ parallel zwischen Mittelpunkt und b
+
+Die Schaltung besteht also aus zwei Parallelschaltungen, die anschließend in Reihe liegen.
+
+Zuerst werden $R_1$ und $R_3$ zusammengefasst:
+
+$ R_{13} = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3} $
+
+Da beide Widerstände gleich groß sind:
+
+$ R_{13} = \frac{\qty{2,2}{\kilo\ohm}}{2} = \qty{1,1}{\kilo\ohm} $
+
+Nun werden $R_2$ und $R_4$ zusammengefasst:
+
+$ R_{24} = \frac{R_2 \cdot R_4}{R_2 + R_4} $
+
+Auch diese Widerstände sind gleich groß:
+
+$ R_{24} = \frac{\qty{220}{\ohm}}{2} = \qty{110}{\ohm} $
+
+Beide Ersatzwiderstände liegen in Reihe:
+
+$ R_\mathrm{ges} = R_{13} + R_{24} = \qty{1100}{\ohm} + \qty{110}{\ohm} = \qty{1210}{\ohm} $