From 6a61e7ae067023e2f2695ee0d5176a1afff1f264 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matthias Jung Date: Fri, 14 Aug 2026 18:00:57 +0200 Subject: [PATCH] refactor: elektrische verlaengerung --- contents/drawings/1134.svg | 537 ++++++++++++++++++ contents/drawings/1134.tex | 292 ++++++++++ contents/sections/antennenformen_2.md | 3 +- .../elektrische_verlaengerung_verkuerzung.md | 36 +- contents/solutions/AG108.md | 11 + 5 files changed, 876 insertions(+), 3 deletions(-) create mode 100644 contents/drawings/1134.svg create mode 100644 contents/drawings/1134.tex create mode 100644 contents/solutions/AG108.md diff --git a/contents/drawings/1134.svg b/contents/drawings/1134.svg new file mode 100644 index 0000000..a83d4b7 --- /dev/null +++ b/contents/drawings/1134.svg @@ -0,0 +1,537 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/contents/drawings/1134.tex b/contents/drawings/1134.tex new file mode 100644 index 0000000..e4c6f5f --- /dev/null +++ b/contents/drawings/1134.tex @@ -0,0 +1,292 @@ +% Author: Prof. Dr. Matthias Jung, DL9MJ +% Year: 2026 +% +% Vertikaldiagramme idealer Monopolantennen über perfekter Erde +% +% Elevationswinkel alpha: +% 0° = Horizont +% 90° = Zenit +% +% Gezeigt werden: +% lambda/4 +% lambda/2 +% 5 lambda/8 +% lambda +% +% Die orangen Kurven zeigen das normierte Fernfeld. +% Die roten Kurven zeigen die idealisierte Stromverteilung +% entlang des Strahlers. +% Referenz +% https://en.wikipedia.org/wiki/Monopole_antenna#mwBYI + +\begin{tikzpicture} + +% -------------------------------------------------------------------------- +% Fernfeld eines idealen vertikalen Monopols +% +% alpha = Elevationswinkel über dem Horizont +% h = Strahlerlänge in Wellenlängen +% +% E(alpha) ~ +% +% | cos(2*pi*h*sin(alpha)) - cos(2*pi*h) | +% ------------------------------------------------- +% cos(alpha) +% +% PGF rechnet trigonometrische Funktionen in Grad. +% Daher entspricht 2*pi*h dem Winkel 360*h. +% -------------------------------------------------------------------------- + +\pgfmathdeclarefunction{monopat}{3}{% + \pgfmathparse{% + abs( + (cos(360*#2*sin(#1))-cos(360*#2)) + / cos(#1) + ) / #3 + }% +} + +% Radius eines Polardiagramms +\def\R{1.40} + +% Horizontale Auslenkung der Stromkurve +\def\Iscale{0.28} + +% Vertikale Skalierung der Antennendarstellung +\def\AntennaScale{1.55} + +\tikzset{ + polargrid/.style={ + draw=black!35, + line width=0.35pt + }, + polargridminor/.style={ + draw=black!20, + line width=0.25pt + }, + radiation/.style={ + draw=DARCorange, + line width=1.4pt + }, + antenna/.style={ + draw=black, + line width=1.1pt + }, + current/.style={ + draw=DARCred, + line width=1.3pt + } +} + +% -------------------------------------------------------------------------- +% Panel +% +% #1 x-Position +% #2 y-Position +% #3 Strahlerlänge h/lambda +% #4 Normierung des Feldes +% #5 Beschriftung der mechanischen Länge +% -------------------------------------------------------------------------- + +\newcommand{\MonopolePanel}[5]{% + \begin{scope}[shift={(#1,#2)}] + + % -------------------------------------------------------------- + % Polardiagramm + % -------------------------------------------------------------- + + % konzentrische Bögen + \foreach \r in {0.2,0.4,0.6,0.8,1.0}{ + \draw[polargridminor] + (0,0) + ++(0:{\r*\R}) + arc[ + start angle=0, + end angle=90, + radius={\r*\R} + ]; + } + + % Winkelstrahlen + \foreach \a in {0,10,...,90}{ + \draw[polargrid] + (0,0) -- (\a:\R); + } + + % Winkelbeschriftungen + \foreach \a in {0,10,...,90}{ + \node[ + font=\scriptsize, + inner sep=1pt + ] at (\a:{1.10*\R}) {\a}; + } + + % -------------------------------------------------------------- + % Strahlungsdiagramm + % -------------------------------------------------------------- + + \draw[radiation] + plot[ + domain=0:89.7, + samples=350, + smooth, + variable=\a + ] + ( + {\R*monopat(\a,#3,#4)*cos(\a)}, + {\R*monopat(\a,#3,#4)*sin(\a)} + ); + + % -------------------------------------------------------------- + % Antennendarstellung + % -------------------------------------------------------------- + + \pgfmathsetmacro{\antennaheight}{\AntennaScale*#3} + + % Groundplane / Erde + \draw[antenna] + (-0.73,0) -- (-0.27,0); + + % Strahler + \draw[antenna] + (-0.50,0) -- (-0.50,\antennaheight); + + % -------------------------------------------------------------- + % Stromverteilung + % + % I(z) = Imax * sin(k * (l-z)) + % + % Da z und l in Wellenlängen angegeben sind: + % + % I(z) = sin(360° * (l-z)) + % + % Positive und negative Werte werden auf unterschiedlichen + % Seiten des Strahlers dargestellt und zeigen damit auch + % Phasenumkehrungen des Stroms. + % -------------------------------------------------------------- + + \draw[current] + plot[ + domain=0:#3, + samples=180, + smooth, + variable=\z + ] + ( + { + -0.50 + + \Iscale*sin(360*(#3-\z)) + }, + { + \AntennaScale*\z + } + ); + + % -------------------------------------------------------------- + % Längenmaß + % -------------------------------------------------------------- + + \draw[ + Triangle-Triangle, + line width=0.55pt + ] + (-0.82,0) + -- + (-0.82,\antennaheight); + + % Längenbeschriftung + \node[ + rotate=90, + font=\small, + anchor=south + ] at (-0.87,{0.5*\antennaheight}) + {$l=#5$}; + + \end{scope} +} + +% -------------------------------------------------------------------------- +% Obere Reihe +% -------------------------------------------------------------------------- + +% lambda/4 +% +% Strom: +% Maximum am Speisepunkt +% Nullstelle an der Spitze +% +% Strahlung: +% Maximum am Horizont +% +\MonopolePanel + {0} + {0} + {0.25} + {1.0} + {\frac{1}{4}\lambda} + + +% lambda/2 +% +% Strom: +% Nullstelle am Speisepunkt +% Maximum bei lambda/4 +% Nullstelle an der Spitze +% +% Strahlung: +% Maximum am Horizont +% +\MonopolePanel + {3.15} + {0} + {0.50} + {2.0} + {\frac{1}{2}\lambda} + + +% -------------------------------------------------------------------------- +% Untere Reihe +% -------------------------------------------------------------------------- + +% 5 lambda/8 +% +% Strom: +% kleiner Stromabschnitt mit umgekehrter Phase am Speisepunkt +% Stromnullstelle bei z = lambda/8 +% großer Strombauch darüber +% +% Strahlung: +% Hauptmaximum am Horizont +% erste Nullstelle bei ca. 36.87° +% kleine Hochwinkelkeule bei ca. 58.91° +% +\MonopolePanel + {0} + {-2.05} + {0.625} + {1.707106781} + {\frac{5}{8}\lambda} + + +% lambda +% +% Strom: +% Nullstellen bei +% z = 0 +% z = lambda/2 +% z = lambda +% +% zwei Strombäuche mit entgegengesetzter Phase +% +% Strahlung: +% Nullstelle am Horizont +% Hauptmaximum bei ca. 32.56° +% +\MonopolePanel + {3.15} + {-2.05} + {1.0} + {2.338981541} + {\lambda} + +\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/contents/sections/antennenformen_2.md b/contents/sections/antennenformen_2.md index 860fe43..3ff89bd 100644 --- a/contents/sections/antennenformen_2.md +++ b/contents/sections/antennenformen_2.md @@ -85,11 +85,12 @@ Aufgrund der zum Dipol senkrechten Abstrahlcharakteristik kann ein vertikal mont --- -Einen Spezialfall einer Vertikalantenne stellt die gegen Erde (oder einer Fahrzeugkarosserie) erregte $5/8 \lambda$-Antenne dar (vgl. Abbildung [ref:e_fuenf_achtel]). Hier ist die Länge gerade so gewählt, dass sich ein optimaler Gewinn ergibt. +Einen Spezialfall einer Vertikalantenne stellt die gegen Erde (oder einer Fahrzeugkarosserie) erregte $5/8 \lambda$-Antenne dar (vgl. Abbildung [ref:e_fuenf_achtel]). Hier ist die Länge gerade so gewählt, dass sich ein optimaler Gewinn ergibt (vgl. Abbildungen [ref:a_5_8_lambda_strahlung] und [ref:e_fuenf_achtel]). [question:EG108] +[picture:1134:a_5_8_lambda_strahlung:Strahlungsmuster und Stromverteilung von Vertikalantennen bei idealer Erde] [picture:650:e_fuenf_achtel:$5/8 \lambda$-Antenne] diff --git a/contents/sections/elektrische_verlaengerung_verkuerzung.md b/contents/sections/elektrische_verlaengerung_verkuerzung.md index 04820fa..ef6a064 100644 --- a/contents/sections/elektrische_verlaengerung_verkuerzung.md +++ b/contents/sections/elektrische_verlaengerung_verkuerzung.md @@ -1,8 +1,40 @@ -Wie wir gelernt haben wirkt ein Halbwellendipol oder eine gegenüber Erde erregte $\lambda / 4$-Antenne teilweise wie eine Kapazität, wenn sie zu kurz ist, oder wie eine Spule, wenn sie zu lang ist. Dadurch, dass die Speiseimpedanz nicht mehr näherungsweise $\qty{50}{\ohm}$ beträgt, kommt es zu einer Fehlanpassung und es entsteht eine Stehwelle auf der Speiseleitung. Das SWR wird schlechter. Um die induktive Wirkung einer zu langen Antenne zu kompensieren, kann man einen Kondensator in die Antenne einfügen und somit *elektrisch verkürzen*. Ebenso kann man eine zu kurze Antenne mittels einer Verlängerungsspule *elektrisch verlängern*. +Bei Antennen müssen wir zwischen der *mechanischen* und der *elektrischen Länge* unterscheiden. Die mechanische Länge ist einfach die tatsächlich messbare Länge des Antennendrahtes oder Strahlers. Die elektrische Länge beschreibt dagegen, wie lang die Antenne bei der betrachteten Frequenz elektrisch wirkt. Sie kann unter anderem durch Spulen und Kondensatoren verändert werden, ohne dass die mechanische Länge des Strahlers geändert werden muss. + +Betrachten wir zunächst Antennen in der Nähe ihrer Grundresonanz. Ein Halbwellendipol ist ungefähr bei einer Gesamtlänge von $\lambda/2$ resonant, eine Groundplane mit einem einzelnen vertikalen Strahler ungefähr bei einer Strahlerlänge von $\lambda/4$. + +Ist eine solche Antenne für die gewünschte Frequenz zu kurz, besitzt ihre Speiseimpedanz einen *kapazitiven* Blindanteil. Eine Spule kann diesen kapazitiven Blindanteil kompensieren. Man spricht dann von einer *elektrischen Verlängerung* der Antenne. + +Ist die Antenne dagegen für die gewünschte Frequenz zu lang, besitzt ihre Speiseimpedanz einen *induktiven* Blindanteil. Dieser kann mit einem Kondensator kompensiert werden. Man spricht dann von einer *elektrischen Verkürzung*. + +Eine Spule verlängert eine Antenne also elektrisch, ein Kondensator verkürzt sie elektrisch. Die mechanische Länge des Strahlers bleibt dabei unverändert. + +--- + +Ein interessantes Beispiel ist die $\frac{5}{8}\lambda$-Vertikalantenne. Bei einer normalen Groundplane ist der vertikale Strahler ungefähr $\frac{1}{4}\lambda=0{,}25\lambda$ lang. Bei einer $\frac{5}{8}\lambda$-Vertikalantenne beträgt die mechanische Länge des Strahlers dagegen $\frac{5}{8}\lambda=0{,}625\lambda$. + +Der Strahler ist damit mechanisch etwa $\num{2,5}$-mal so lang wie bei einer normalen $\lambda/4$-Groundplane. Die größere Strahlerlänge verändert das vertikale Strahlungsdiagramm und bündelt die abgestrahlte Leistung stärker in Richtung Horizont (vgl. [ref:a_5_8_lambda_strahlung]). Dies kann beispielsweise für terrestrische Funkverbindungen von Vorteil sein. + +Obwohl der $\frac{5}{8}\lambda$-Strahler mechanisch deutlich länger als ein $\lambda/4$-Strahler ist, ist er bei dieser Länge noch nicht resonant und besitzt am Speisepunkt einen kapazitiven Blindanteil. Die nächste geeignete Resonanz liegt bei ungefähr $\frac{3}{4}\lambda=0{,}75\lambda$. Zwischen $\frac{5}{8}\lambda$ und $\frac{3}{4}\lambda$ fehlt elektrisch noch $\frac{3}{4}\lambda-\frac{5}{8}\lambda =\frac{1}{8}\lambda$. Durch die Spule am Fußpunkt wird der Strahler deshalb *elektrisch verlängert*. Die Spule liefert einen induktiven Blindanteil, der den kapazitiven Blindanteil des $\frac{5}{8}\lambda$-Strahlers kompensiert. + + +[picture:1134:a_5_8_lambda_strahlung:Strahlungsmuster und Stromverteilung von Vertikalantennen bei idealer Erde] +[picture:650:a_5_8_lambda:$\qty{5}{8}\lambda$-Vertikalantenne] + [question:AG106] + +--- + +Umgekehrt kann eine Antenne, die in der Nähe ihrer Grundresonanz mechanisch etwas zu lang ist, durch einen Kondensator elektrisch verkürzt werden (vgl. Abbildung [ref:a_verkuerzung]). Der Kondensator liefert einen kapazitiven Blindanteil und kompensiert damit den induktiven Blindanteil des zu langen Strahlers. + [question:AG107] -Für die folgende Frage müssen wir zunächst ermitteln, ob die Antenne mechanisch zu kurz oder zu lang ist. Ist die Antenne mechanisch zu kurz, benötigen wir eine Verlängerungsspule; ansonsten einen Verkürzungskondensator. + +[picture:563:a_verkuerzung:Vertikalantenne mit Verkürzungskondensator] + + +--- + +Bei einem Dipol lässt sich ebenfalls zunächst anhand seiner mechanischen Länge abschätzen, ob für die gewünschte Grundresonanz eine elektrische Verlängerung oder Verkürzung erforderlich ist. [question:AG108] \ No newline at end of file diff --git a/contents/solutions/AG108.md b/contents/solutions/AG108.md new file mode 100644 index 0000000..fc26e8e --- /dev/null +++ b/contents/solutions/AG108.md @@ -0,0 +1,11 @@ +Für $\qty{3,6}{\mega\hertz}$ beträgt die Wellenlänge ungefähr + +$\lambda=\frac{\qty{300000}{\kilo\meter\per\second}}{\qty{3,6}{\mega\hertz}} \approx\qty{83,3}{\meter}.$ + +Ein Halbwellendipol müsste damit idealisiert ungefähr + +$\frac{\lambda}{2}\approx\qty{41,7}{\meter}$ + +lang sein. Der in der folgenden Frage beschriebene Dipol besitzt jedoch nur zweimal $\qty{15}{\meter}$, also eine Gesamtlänge von $\qty{30}{\meter}$. Er ist damit für $\qty{3,6}{\mega\hertz}$ mechanisch zu kurz. + +Um ihn bei dieser Frequenz in Resonanz zu bringen, müssen die beiden Dipolhälften daher elektrisch verlängert werden. Dazu wird in jeden Schenkel eine Spule eingefügt. \ No newline at end of file